二逼平衡树
它是真“二逼”啊。
Describe：
维护一个序列，支持以下操作：
- 查询 \(x\) 在区间内的排名；
- 查询区间内排名为 \(k\) 的值；
- 修改某一位置上的数值；
- 查询 \(x\) 在区间内的前驱（前驱定义为小于 \(x\)，且最大的数）；
- 查询 \(x\) 在区间内的后继（后继定义为大于 \(x\)，且最小的数）。
Solution:
经典树套树。但选择什么树呢？看到操作，很容易想到线段树套平衡树。但是它的码量和细节比我命都长。这确实是一种好方法，你愿意写就写吧。我选择树状数组套权值线段树。
在学主席树时，就可以知道主席树是可以支持第二个操作的。对于区间的限制，也很方便处理。主席树本质上就是树的前缀和，对于区间是可以通过差分限制的。但还需要支持操作三，而前缀和修改是 \(O(n)\) 的。这时就是树状数组派上作用了。就由它来平摊查询和修改的复杂度。
具体而言：
对于每个操作，先用树状数组选出需要操作的树。
void prepare(int l,int r)
{
cnt[0]=cnt[1]=0;
for(int i=r;i;i-=lowbit(i))
tmp[++cnt[0]][0]=rt[i];
for(int i=l-1;i;i-=lowbit(i))
tmp[++cnt[1]][1]=rt[i];
}
对于操作一，将 \(x\) 与左子树中最大值比较，若大于则计入左子树的总数，下到右子树做同样操作，反之直接下到左子树。
int query_rank(int l,int r,int c)
{
if(l==r)
return 0;
int mid=(l+r)>>1;
if(c>v[mid-1])
{
int s=0;
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
{
s+=tr[lc(tmp[i][0])].siz;
tmp[i][0]=rc(tmp[i][0]);
}
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
{
s-=tr[lc(tmp[i][1])].siz;
tmp[i][1]=rc(tmp[i][1]);
}
return s+query_rank(mid+1,r,c);
}
else
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=lc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=lc(tmp[i][1]);
return query_rank(l,mid,c);
}
}
int prepare_query_rank(int l,int r,int c)
{
prepare(l,r);
return query_rank(1,len,c)+1;
}
对于操作二，可以判断左子树的叶子数（序列都在叶子上）是否大于当前的排名，是则减去右子树的叶子数，下到右子树做同样操作，否则下到左子树。
int query_kth(int l,int r,int c)
{
if(l==r)
return v[l-1];
int s=0;
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
s+=tr[lc(tmp[i][0])].siz;
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
s-=tr[lc(tmp[i][1])].siz;
int mid=(l+r)>>1;
// cerr<<l<<' '<<r<<' '<<c<<' '<<s<<'\n';
if(c>s)
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=rc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=rc(tmp[i][1]);
return query_kth(mid+1,r,c-s);
}
else
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=lc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=lc(tmp[i][1]);
return query_kth(l,mid,c);
}
}
int prepare_query_kth(int l,int r,int c)
{
prepare(l,r);
return query_kth(1,len,c);
}
对于操作三，对每个有影响的树直接修改即可。
void insert(int &now,int l,int r,int x,int c)
{
if(!now)
now=++trlen;
tr[now].siz+=c;
if(l==r)
return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
insert(lc(now),l,mid,x,c);
else
insert(rc(now),mid+1,r,x,c);
}
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
int getid(int x)
{
return std::lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}
void modify(int x,int c)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
insert(rt[i],1,len,getid(a[x]),-1);
a[x]=c;
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
insert(rt[i],1,len,getid(a[x]),1);
}
而操作四可以利用操作一和操作二实现。对于当前区间，如果比 \(x\) 的排名小就满足小于 \(x\) 的条件，且排名最高，就满足且最大的数的条件，也即查询 \(x\) 的排名减一的值。
int query_nxt(int l,int r,int k)
{
int rk=prepare_query_rank(l,r,k)-1;
return prepare_query_kth(l,r,rk);
}
操作五同样也可以利用操作一和操作二实现，但与操作四略有区别。若只是排名加一，则可能查询到与 \(x\) 相同的值。但若查询 \(x+1\) 的排名，就满足了大于 \(x\) 且最小值的条件了。因为查询排名时，都是查询相同值的最小排名。
int query_pre(int l,int r,int k)
{
int rk=prepare_query_rank(l,r,k+1);
return prepare_query_kth(l,r,rk);
}
时间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，空间复杂度 \(O(n\log^2 n)\)。
剩下注意亿点点细节，就可以愉快的 AC 了。
Code:
完整代码奉上：
bool _Start;
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
namespace IO
{
#define TP template<typename T>
#define TP_ template<typename T,typename ... T_>
#ifdef DEBUG
#define gc() (getchar())
#else
char buf[1<<20],*p1,*p2;
#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<20,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
#ifdef DEBUG
void pc(const char &c)
{
putchar(c);
}
#else
char pbuf[1<<20],*pp=pbuf;
void pc(const char &c)
{
if(pp-pbuf==1<<20)
fwrite(pbuf,1,1<<20,stdout),pp=pbuf;
*pp++=c;
}
struct IO{~IO(){fwrite(pbuf,1,pp-pbuf,stdout);}}_;
#endif
TP void read(T &x)
{
x=0;static int f;f=0;static char ch;ch=gc();
for(;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())ch=='-'&&(f=1);
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
f&&(x=-x);
}
TP void write(T x)
{
if(x<0)
pc('-'),x=-x;
static T sta[35],top;top=0;
do
sta[++top]=x%10,x/=10;
while(x);
while(top)
pc(sta[top--]^48);
}
TP_ void read(T &x,T_&...y){read(x);read(y...);}
TP void writeln(const T x){write(x);pc('\n');}
TP void writesp(const T x){write(x);pc(' ');}
TP_ void writeln(const T x,const T_ ...y){writesp(x);writeln(y...);}
TP void debugsp(const T x){fprintf(stderr,"%d ",x);}
TP void debug(const T x){fprintf(stderr,"%d\n",x);}
TP_ void debug(const T x,const T_...y){debugsp(x);debug(y...);}
TP inline T max(const T &a,const T &b){return a>b?a:b;}
TP_ inline T max(const T &a,const T_&...b){return max(a,max(b...));}
TP inline T min(const T &a,const T &b){return a<b?a:b;}
TP_ inline T min(const T &a,const T_&...b){return min(a,min(b...));}
TP inline void swap(T &a,T &b){static T t;t=a;a=b;b=t;}
TP inline T abs(const T &a){return a>0?a:-a;}
#undef TP
#undef TP_
}
using namespace IO;
using std::cerr;
using LL=long long;
constexpr int N=5e4+5;
constexpr int inf=0x7fffffff;
struct trnode
{
int lc,rc,siz;
}tr[N<<8];int trlen;
int tmp[N][2],cnt[2],a[N],rt[N],len;
std::vector<int>v;
#define lc(x) tr[x].lc
#define rc(x) tr[x].rc
void insert(int &now,int l,int r,int x,int c)
{
if(!now)
now=++trlen;
tr[now].siz+=c;
if(l==r)
return ;
int mid=(l+r)>>1;
if(x<=mid)
insert(lc(now),l,mid,x,c);
else
insert(rc(now),mid+1,r,x,c);
}
int query_kth(int l,int r,int c)
{
if(l==r)
return v[l-1];
int s=0;
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
s+=tr[lc(tmp[i][0])].siz;
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
s-=tr[lc(tmp[i][1])].siz;
int mid=(l+r)>>1;
// cerr<<l<<' '<<r<<' '<<c<<' '<<s<<'\n';
if(c>s)
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=rc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=rc(tmp[i][1]);
return query_kth(mid+1,r,c-s);
}
else
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=lc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=lc(tmp[i][1]);
return query_kth(l,mid,c);
}
}
int query_rank(int l,int r,int c)
{
if(l==r)
return 0;
int mid=(l+r)>>1;
if(c>v[mid-1])
{
int s=0;
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
{
s+=tr[lc(tmp[i][0])].siz;
tmp[i][0]=rc(tmp[i][0]);
}
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
{
s-=tr[lc(tmp[i][1])].siz;
tmp[i][1]=rc(tmp[i][1]);
}
return s+query_rank(mid+1,r,c);
}
else
{
for(int i=1;i<=cnt[0];i++)
tmp[i][0]=lc(tmp[i][0]);
for(int i=1;i<=cnt[1];i++)
tmp[i][1]=lc(tmp[i][1]);
return query_rank(l,mid,c);
}
}
int n,m;
struct Query
{
int op,l,r,x,k;
int pos,y;
}q[N];
int lowbit(int x)
{
return x&-x;
}
int getid(int x)
{
return std::lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}
void modify(int x,int c)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
insert(rt[i],1,len,getid(a[x]),-1);
a[x]=c;
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
insert(rt[i],1,len,getid(a[x]),1);
}
void prepare(int l,int r)
{
cnt[0]=cnt[1]=0;
for(int i=r;i;i-=lowbit(i))
tmp[++cnt[0]][0]=rt[i];
for(int i=l-1;i;i-=lowbit(i))
tmp[++cnt[1]][1]=rt[i];
}
int prepare_query_kth(int l,int r,int c)
{
prepare(l,r);
return query_kth(1,len,c);
}
int prepare_query_rank(int l,int r,int c)
{
prepare(l,r);
return query_rank(1,len,c)+1;
}
int query_nxt(int l,int r,int k)
{
int rk=prepare_query_rank(l,r,k)-1;
return prepare_query_kth(l,r,rk);
}
int query_pre(int l,int r,int k)
{
int rk=prepare_query_rank(l,r,k+1);
return prepare_query_kth(l,r,rk);
}
int prepare_query(int l,int r,int c,int nxt)
{
if(nxt)
return query_nxt(l,r,c);
else
return query_pre(l,r,c);
}
bool _End;
int main()
{
// fprintf(stderr,"%.2 MBlf\n",(&_End-&_Start)/1048576.0);
read(n,m);
for(int i=1;i<=n;i++)
read(a[i]),v.emplace_back(a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
read(q[i].op);
switch(q[i].op)
{
case 1:
read(q[i].l,q[i].r,q[i].x);
break;
case 2:
read(q[i].l,q[i].r,q[i].k);
break;
case 3:
read(q[i].pos,q[i].y);
v.emplace_back(q[i].y);
break;
case 4:
read(q[i].l,q[i].r,q[i].x);
v.emplace_back(q[i].x);
break;
case 5:
read(q[i].l,q[i].r,q[i].x);
v.emplace_back(q[i].x);
break;
}
}
v.emplace_back(-inf);
v.emplace_back(inf);
std::sort(v.begin(),v.end());
v.erase(std::unique(v.begin(),v.end()),v.end());
len=v.size();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j+=lowbit(j))
insert(rt[j],1,len,getid(a[i]),1);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
switch(q[i].op)
{
case 1:
writeln(prepare_query_rank(q[i].l,q[i].r,q[i].x));
break;
case 2:
writeln(prepare_query_kth(q[i].l,q[i].r,q[i].k));
break;
case 3:
modify(q[i].pos,q[i].y);
break;
case 4:
{
writeln(prepare_query(q[i].l,q[i].r,q[i].x,1));
break;
}
case 5:
{
writeln(prepare_query(q[i].l,q[i].r,q[i].x,0));
break;
}
}
}
return 0;
}
打完之后，旁边的同学跟我说，线段树套平衡树码量其实也就跟这个一样大。
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