通项公式
\[{n\choose m}={n!\over m!(n-m)!}
\]
组合数的边界均可用通项公式求解：
\[{n\choose 0}={n\choose n}={0\choose 0}=1
\]
递推公式
\[{n\choose m}={n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}
\]
二项式定理
\[(x+y)^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}x^{n-i}y^i
\]
广义二项式定理
\[{(x+y)}^n=\sum\limits_{i=0}^\infty {n\choose i} x^{n-i} y^i
\]
其中：
\[{n\choose i} ={n(n-1)\ldots(n-i+1)\over i!}={n^{\underline i}\over i!}
\]
性质 \(1\) ：对称性
\[{n\choose m}={n\choose n-m}
\]
证明：写成通项公式后相同。
性质 \(2\)
\[2^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}
\]
证明：构造多项式：\(G(x)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}x^i\) ，所求为 \(G(1)\) 。
根据二项式定理，有：\(G(x)={(x+1)}^n\) 。
故 \(G(1)=2^n=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\) 。
简单描述就是二项式定理取 \(x=y=1\) 时的特殊情况。
性质 \(3\)
\[{i\choose j}\cdot{j\choose k}={i\choose k}\cdot{i-k\choose j-k}
\]
证明：写成通项公式后配凑即可相同：
\[\begin{aligned}
{i\choose j}\cdot{j\choose k}&={i!\over j!(i-j)!}\cdot{j!\over k!(j-k)!}\\
&={i!\over k!}\cdot{1\over(j-k)!(i-j)!}\\
&={i!\over k!(i-k)!}\cdot{(i-k)!\over(j-k)!(i-j)!}\\
&={i\choose k}\cdot{i-k\choose j-k}
\end{aligned}
\]
性质 \(4\)
\[\sum\limits_{i=0}^n (-1)^i{n\choose i}=0
\]
证明：二项式定理的特殊情况，取 \(x=1\ ,y=-1\) 。
性质 \(5\)
\[{n\choose 0}+{n\choose 2}+{n\choose 4}+\ldots={n\choose 1}+{n\choose 3}+{n\choose 4}+\ldots=2^{n-1}
\]
证明：根据性质 \(2\) 和性质 \(4\) 证明。
性质 \(6\)
\[{n+m+1\choose m}={n+m+1\choose n+1}
=\sum\limits_{i=0}^m{n+i\choose n}=\sum\limits_{i=0}^m{n+i\choose i}
\]
证明：用中间两项证明。
构造问题，在大小为 \(n+m+1\) 的集合中选出 \(n+1\) 个数，\(\text{ans}={n+m+1\choose n+1}\) 。
只在前 \(n+i+1\) 个数中选，第 \(n+i+1\) 个数必选，则 \(\text{ans}={n+i\choose n}\) 。
性质 \(7\) ：吸收公式
\[m\cdot {n\choose m}=n\cdot {n-1\choose m-1}
\]
也写作：
\[{n\choose m}={n\over m}\cdot {n-1\choose m-1}
\]
证明：写成通项公式后相同，也可用递推公式转化。
性质 \(8\)
\[n\cdot 2^{n-1}=\sum\limits_{i=1}^n {n\choose i}\cdot i
\]
证明：构造多项式 \(g(x)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\cdot i x^{i-1}\) ，则 \(\sum\limits_{i=1}^n {n\choose i}\cdot i=g(1)-{n\choose 0}\cdot 0\cdot x^{-1}=g(1)\) 。
设 \(G'(x)=g(x)\) ，则：
\[\begin{aligned}
G(x)&=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}x^i\\
&={(x+1)}^n
\end{aligned}
\]
故 \(g(x)=G'(x)=n{(x+1)}^{n-1}\) 。
所以 \(\sum\limits_{i=1}^n {n\choose i}\cdot i=g(1)=n\cdot 2^{n-1}\) 。
性质 \(9\)
\[n(n+1)\cdot2^{n-2}=\sum\limits_{i=1}^n{n\choose i}\cdot i^2
\]
证明：
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{i=1}^n{n\choose i}\cdot i^2&=
\sum\limits_{i=0}^{n-1}{n\choose i+1}\cdot {(i+1)}^2\\
&=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{n!\over (i+1)!(n-i-1)!}\cdot {(i+1)}^2\\
&=n\sum\limits_{i=0}^{n-1}{(n-1)!\over i!(n-i-1)!}\cdot (i+1)\\
&=n\sum\limits_{i=0}^{n-1}{n-1\choose i}\cdot (i+1)
\end{aligned}
\]
将和式形式化地写作：\(\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\cdot(i+1)\) 。
法一：把 \((i+1)\) 拆开，分别用性质 \(2\) 和性质 \(8\) 化简。
法二：构造多项式 \(g(x)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\cdot(i+1)x^i\) ，所求即为 \(g(1)\) 。
设 \(G'(x)=g(x)\) ，则：
\[\begin{align}
G(x)&=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\cdot x^{i+1}\\
&=x\sum\limits_{j=0}^n{n\choose i}\cdot x^i\\
&=x{(x+1)}^{n-1}
\end{align}
\]
\(\therefore\ g(x)=G'(x)={(x+1)}^{n-1}+(n-1)x{(x+1)^{n-2}}\) 。
\(\therefore\ g(1)=(n+1)\cdot 2^{n-2}\) 。
\(\therefore\ \sum\limits_{i=1}^n{n\choose i}\cdot i^2=n(n+1)\cdot 2^{n-2}\) 。
性质 \(10\) ：范德蒙德卷积
\[\sum\limits_{i=0}^k{n\choose i}{m\choose k-i}={m+n\choose k}
\ \ \ (n\geqslant k\ ,\ m\geqslant k)
\]
证明：式子意义：两组数分别为 \(n\) 和 \(m\) 个，分别选 \(i\) 个和 \(k-i\) 个，相当于从 \(m+n\) 个数中选 \(k\) 个。
性质 \(11\)
\[{2n\choose n}=\sum\limits_{i=0}^n{{n\choose i}}^2
\]
证明：\(\sum\limits_{i=0}^n{{n\choose i}}^2=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}\cdot {n\choose n-i}\) 。
式子意义：两组数，各 \(n\) 个，前一组选 \(i\) 个，后一组选 \(n-i\) 个，相当于从 \(2n\) 个数中选 \(n\) 个。
即性质 \(10\) 取 \(n=m=k\) 时的特殊情况 。
性质 \(12\) ：上指标求和
\[\sum\limits_{i=0}^n{i\choose k}={n+1\choose k+1}
\]
证明：构造问题，在大小为 \(n+1\) 的集合中选出 \(k+1\) 个数，\(\text{ans}={n+1\choose k+1}\) 。
只在前 \(i+1\) 个数中选，第 \(i+1\) 个数必选，则 \(\text{ans}={i\choose k}\) 。
性质 \(13\) ：
\[{n\choose m-1}={m\over n-m+1}{n\choose m}
\]
证明：写成通项公式后相同。可用于 \(n\) 较大时递推。
参考资料：组合数的各种性质和定理 - litble
排列组合- OI Wiki
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