【比赛记录】 AtCoder Beginner Contest #272

Problems:

#	Name	Submit
A	Integer Sum
B	Everyone is Friends
C	Max Even
D	Root M Leaper
E	Add and Mex
F	Two Strings
G	Yet Another mod M
Ex	Flipping Coins 2

题解：

A: Integer Sum

求和。

B: Everyone is Friends

暴力判断任意两个人是否至少参加了同一个聚会。

C: Max Even

分奇数和偶数计算。

D: Root M Leaper

BFS 搜索，对于点 \((i,j)\) ，枚举 \(k\) ，计算对应的 \(l\) ，然后拓展。

E: Add and Mex

首先发现 \(\text{mex}\in[0,n)\) 。
设操作次数为 \(k\) ，则只需要考虑满足 \(0\leqslant a_i+i\times k<n\) 的 \(k\) 。
粗略估计时间复杂度：

• 对于 \(i<\sqrt{n}\) ，次数在 \(\text{O(}\) \(n\) \(\text{)}\) 级别。
• 对于 \(i>\sqrt{n}\) ，次数在 \(\text{O(}\)\(\sqrt{n}\) \(\text{)}\) 级别。

 
故总次数在 \(\text{O(}\) \(n\sqrt{n}\) \(\text{)}\) 级别。
精确一点就是调和级数，\(\text{O(}\) \(n\log n\) \(\text{)}\) 级别。
对于 \(i\in[1,m]\) ，遍历对应次数的值即可找到 \(\text{mex}\)。
还有一种找 \(\text{mex}\) 的写法，遍历次数仍是 \(\text{O(}\) \(n\log n\) \(\text{)}\) ，
由于 lower_bound 的存在，复杂度再多乘一个 \(\log(n)\)。

F: Two Strings

通过重复拼接字符串的方式，将 \(S\) 和 \(T\) 的操作后的所有情况排序，用 SA 解决。
设 \(S\) 的一个变换前有 \(i\) 个 \(T\) 的变换，则 ans+=(n-i) 。
先对 \(S\) 和 \(T\) 进行简单拼接，得： \(SSTT\) 。
注意字典序比较在比较至其中一个串结束时仍相同，取短的一个串为字典序小的。
为了保证 \(S\) 的变换在与 \(T\) 的变换字典序相同时，\(S\) 的变换仍排在前面，需进行修改。
考虑 \(S\) 的变换与 \(T\) 的变换对应的后缀 \(S_2S_1S_2T_1T_2T_1T_2\) 和 \(T_2T_1T_2\) ，
其中 \(S=S_1+S_2\) ，\(T=T_1+T_2\) ，\(S_1\) 和 \(T_1\) 长度不一定相等。
显然 \(T_2T_1T_2\) 的长度在 \([n,2n]\) ，考虑两种情况：

• 当 \(\text{len}(S_2S_1S_2)<\text{len}(T_2T_1T_2)\) 时，若前 \(\text{len}(S_2S_1S_2)\) 个字符都相等，
  为保证 \(S_2S_1S_2T_1T_2T_1T_2\) 在 \(T_2T_1T_2\) 前，
  需在 \(SS\) 后加上 ASCII 码比 'a' 小的字符，如 '`' 。
• 当 \(\text{len}(T_2T_1T_2)<\text{len}(S_2S_1S_2)\) 时，若前 \(\text{len}(T_2T_1T_2)\) 个字符都相等，
  为保证 \(S_2S_1S_2T_1T_2T_1T_2\) 在 \(T_2T_1T_2\) 前，
  需在最后加上 ASCII 码比 'z' 大的字符，如 '{' 。

 
故拼接的字符串为：\(SS\text{`}TT\{\) ，注意 SA 基数排序时桶的大小。

G: Yet Another mod M

注意审题qwq，题目中指的是绝对众数。
因此可以发现一下几个性质：

• \(a_i\equiv a_j \pmod M\Rightarrow M~|~(a_i-a_j)\)
• 若存在合法的 \(M\)，则 \(P(a_i\bmod M=x)>\dfrac{1}{2}\) ，
  即满足 \(a_i\bmod M=x\) 的 \(a_i\) 占一半或一半以上。
• 若存在合法的合数 \(M\) ，则 \(M\) 的质因子也合法，
  另外一个数的质因子数为 \(\log\) 级别，其实在该值域内质因子数至多 \(9\) 个。
• 第二条性质结合抽屉原理，可得：
  • 对于长度为偶数的数组，若存在合法的 \(M\) ，则一定存在 \(a_i\equiv a_{i+1} \pmod M\) 。
  • 对于长度为奇数的数组，另存在一种只选奇数位置上的数的情况。

 
随机化算法
根据前三条性质可设计出一个随机化算法，每次随机 \(i,j\) 进行check 。
又第一条和第三条性质可知，若存在合法的 \(M\) ，则 \(M\) 可以是 \(|a_i-a_j|\) 的质因子。
枚举质因数然后统计同余的数的个数，记值域最大值为 \(m\) ，
则 check 是 \(\text{O(nlog m)}\)级别的。
总的时间复杂度为 \(\text{O}(wn\text{log }n)\) ，其中 \(w\) 是随机次数，是一个常数。
随机次数超过 \(w\) 仍未随机到正确答案的概率为 \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{w}\) ，
\(w\) 取 \(100\) 时已经是一个很小的概率了 。
非随机化算法
加上第四条性质，对于长度为偶数的枚举相邻数对 check 即可。
对于奇数的特殊情况，判断相邻奇数位置数的 \(\gcd\) 是否大于 \(3\) 即可。
注意 \(3\leqslant M \leqslant 10^9\) ，因此应该用 \(4\) 代替 \(2\) 。
因为若一个偶合数不含 \(2\) 以外的其它质因子，必可写成 \(2^k,k>1\) ，则必被 \(4\) 整除。
总的时间复杂度为 \(\text{O}(n^2\text{log }n)\) 。
总结
本来觉得非随机化算法更妙，但是抵不过人家随机化算法时间复杂度更优啊qwq。
这题的性质挖掘很重要。

Ex: Flipping Coins 2

多项式，不会，寄qwq。