【动态规划】最长递增子序列

300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

 
示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4
示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1
 

提示：

1 <= nums.length <= 2500
-104 <= nums[i] <= 104
 

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence

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首先常规的O(n^2)的解法不难写出来，这里就不赘述了。直接上代码。执行时间74ms只能击败28%

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int dp[]=new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp,1);
        int ans=1;

        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i]=Math.max(dp[i],dp[j]+1);
                }
                
            }
        }

        for(int i=0;i<dp.length;i++){
            ans=Math.max(dp[i],ans);
        }

        return ans;
    }
}

　　

O(NlogN)的解法直接参考labuladong的文章，便于记忆

动态规划设计之最长递增子序列

首先，给你一排扑克牌，我们像遍历数组那样从左到右一张一张处理这些扑克牌，最终要把这些牌分成若干堆。

 

 

处理这些扑克牌要遵循以下规则：

只能把点数小的牌压到点数比它大的牌上。如果当前牌点数较大没有可以放置的堆，则新建一个堆，把这张牌放进去。如果当前牌有多个堆可供选择，则选择最左边的堆放置。

比如说上述的扑克牌最终会被分成这样 5 堆（我们认为 A 的值是最大的，而不是 1）。

 

 为什么遇到多个可选择堆的时候要放到最左边的堆上呢？因为这样可以保证牌堆顶的牌有序（2, 4, 7, 8, Q），证明略。

 

 按照上述规则执行，可以算出最长递增子序列，牌的堆数就是我们想求的最长递增子序列的长度，证明略。

 

 我们只要把处理扑克牌的过程编程写出来即可。每次处理一张扑克牌不是要找一个合适的牌堆顶来放吗，牌堆顶的牌不是有序吗，这就能用到二分查找了：用二分查找来搜索当前牌应放置的位置。

public int lengthOfLIS(int[] nums){
        int[] top=new int[nums.length];
        //牌堆初始化为0
        int piles=0;

        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            //要处理的扑克
            int poker=nums[i];

            //搜索左侧边界的二分查找,左闭右开
            int left=0;
            int right=piles;
            while(left<right){
                int mid=left+(right-left)/2;
                if(top[mid]>poker){
                    right=mid;
                }else if(top[mid]<poker){
                    left=mid+1;
                }else {
                    right=mid;//继续探索左侧边界
                }
            }
            //没找到合适的新开一堆牌
            if(left==piles){
                piles++;
            }
            //把这张牌放到牌堆顶
            top[left]=poker;
        }
        return piles;
    }

　　

数组 top，用于保存最长上升子序列。

对原序列进行遍历，将每位元素二分插入top中。

如果 top 中元素都比它小，将它插到最后，相当于最长子序列长度又增加了1。
否则，用它覆盖掉比它大的元素中最小的那个。

通过这样的操作，模拟了，在k的位置，挨个跟k-1个数据比较，并且把长度加1。
总之，思想就是让 top中存储比较小的元素。这样，top 未必是真实的最长上升子序列，但长度是对的。