Luogu P8255 数学游戏 题解

Luogu P8255 数学游戏 题解

题目大意

现有若干正整数 \(x,y,z\) 满足 \(z=x\times y\times\gcd(x,y)\) ，给定 \(z,x\) ，求 \(y\) 。无解输出 \(-1\)

I/O

Input

第一行一个整数，表示有 \(t\) 对正整数 \(x,y\)

接下来 \(t\) 行，每行两个正整数 \(x,z\)

Output

对于每对数字输出一行 \(y\) ，无解输出 \(-1\)

I/O e.g.

Input#1

1
10 240

Output#1

12

Input#2

3
5 30
4 8
11 11

Output#2

6
-1
1

题解

\[\begin{align} \notag i&)\because\ x,y,z为正整数\\\notag &\therefore 若x\not{|}\ \ z,无解\\\notag ii&)\ 若\ x|z\\\notag &令\ x=a\times d,y=b\times d,其中\gcd(a,b)=1\\\notag &有\ \gcd(x,y)=d\\\notag &\therefore\ z=x\times y\times\gcd(x,y)=a\times b\times d^3\\\notag &\therefore\ \frac zx=b \times d^2\\\notag &\because\ \gcd(a,b)=1\Rightarrow\ \gcd(a^2,b)=1\\\notag &\therefore\ \gcd(x^2,\frac zx)=\gcd(a^2d^2,bd^2)=d^2\gcd(a^2,b)=d^2\\\notag &\therefore\ 若\gcd(x^2,\frac zx)不为完全平方数，无解\\\notag &\therefore\ \frac{\frac zx}{\sqrt{\gcd(x^2,\frac zx)}}=\frac{b\times d^2}d=bd=y \end{align} \]

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define GO(u,v,i) for(register int i=u;i<=v;i++)
template<class t>inline t fr(){
    register t num=0,dis=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')dis=-1;ch=getchar();}
    while(ch<='9'&&ch>='0'){num=(num<<1)+(num<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
    return num*dis;
}
template<class t>inline void fw(t num){
    if(num>9)fw(num/10);
    putchar(num%10+'0');
}
template<class t>inline void fw(t num,char ch){
    if(num<0)num=-num,putchar('-');
    fw(num);putchar(ch);
}
typedef long long lld;
template<class t>inline t gcd(t a,t b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
lld x,z;
lld t;

inline bool check(lld num){
    lld ans=(int)sqrt(num);
    return num==ans*ans;
}

signed main(){
    t=fr<lld>();
    GO(1,t,i){
        x=fr<lld>(),z=fr<lld>();
        if(z%x){
            fw(-1,'\n');continue;
        }
        z/=x;
        lld cc=gcd(x*x,z);
        if(check(cc)){
            lld ans=z/(int)sqrt(cc);
            fw(ans,'\n');
        }
        else fw(-1,'\n');
    }
    return 0;
}