Forever Young

「笔记」组合数学

待更新


计数原理

加法原理

又称分类计数原理

完成一个工作共有\(n\)类方法。在第一类方法中有\(m_1\)种不同的方法,在第二类方法中有\(m_i\)种不同的方法,……,在第\(n\)类方法中有\(m_n\)种不同的方法,那么完成这个工作共有\(m_1+m_2+……+m_n\)种不同的方法。

乘法原理

又称分步计数原理

完成一件工作共需\(n\)个步骤,完成第一个步骤有\(m_1\)种方法,完成第二个步骤有\(m_2\)种方法,……,完成第\(n\)个步骤有\(m_n\)种方法,那么完成这个工作共有\(m_1\times m_2\times…\times m_n\)种方法。

排列组合

排列数

\(A_n^m\)表示从\(n\)个不同元素中依次取出\(m\)个元素排成一列,产生的不同排列的数量

\(A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}=n\times (n - 1) \times(n-2)\times…\times(n-m+1)\)

组合数

\(C_n^m\)\(\dbinom{n}{m}\)表示从\(n\)个不同元素种取出\(m\)个组成一个集合(不考虑顺序),产生的不同集合的数量

\(\dbinom{n}{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}=\dfrac{n\times(n-1)\times…\times(n-m+1)}{m\times(m-1)\times…\times2\times1}\)

组合恒等式

证明百年之后补

  • \(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n}{n-m};\)
  • \(\dbinom{n}{m}=\dbinom{n-1}{m-1}+\dbinom{n-1}{m}\)
  • \(\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}=2^n;\)
  • $\sum\limits_{i=0}^{n}\dbinom{n}{i}[2\mid i]=\sum\limits_{i=0}^{n}[2\nmid i]=2^{n-1} $
  • \(k\)非负整数变量和为\(n\)的方案数(插板法):\(\dbinom{n+k-1}{k-1}\)
  • \(\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{n+i}{n}=\dbinom{n+m+1}{m}\)
  • \(\sum\limits_{i=m}^n\dbinom{i}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}\)
  • \(\dbinom{n}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{m-k}\)
  • \(\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}\)

二项式定理

\((x+y)^n=\sum\limits_{k=0}^n\dbinom{n}{k} x^ky^{n-k}\)


自然数幂之和

\[S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k \]

小结论

\(S_k(n)\)是关于\(n\)\(k+1\)次多项式。

归纳&&证明

\(k\)归纳:

  1. \(k=0,S_k(n)=n\),是关于\(n\)的一次多项式
  2. \(k\leq d-1\),是关于\(n\)\(d\)次多项式
    前置:谔项式定理
    \(\ \ \ (i+1)^{d+1}-i^{d+1}\\=\sum\limits_{j=0}^{d+1}\dbinom{d+1}{j}i^j-i^{d+1}\\=\sum\limits_{j=0}^d\dbinom{d+1}{j}i^j\)
    然而上面这些并没有用,这样并不能求出\(S_k(n)\)的值,所以考虑再加一层求和符号(因为可以交换/cy)
    \(\ \ \ \sum\limits_{i=1}^{n}((i+1)^{d+1}-i^{d+1})\\=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^d\dbinom{d+1}{j}i^j\\=\sum\limits_{j=0}^d\dbinom{d+1}{j}\sum\limits_{i=1}^ni^j\\=\sum\limits_{j=0}^d\dbinom{d+1}{j}S_j(n)\)
    上面那个\(\sum\limits_{i=1}^{n}((i+1)^{d+1}-i^{d+1})\)其实又等于\((n+1)^{d+1}-1\)
    所以现在我们就得到了\((n+1)^{d+1}-1=\sum\limits_{i=0}^d\dbinom{d+1}{i}S_i(n)\)
    \(S_d(n)\)提出来再除一下,胡乱化一下就能发现\(S_d(n)\)的确是\(n+1\)次的多项式……得证(因为懒所以不想写了,而且是小学知识……

求法

暴力

\(O(n\log k)\)
rank1,呼呼呼,好快

拉格朗日插值

待补充

对于\(k\)次多项式函数\(\mathbf F\)以及\(k+1\)个点值\((x_0,y_0),(x_1, y_1),...,(x_k, y_k)\),有\(\mathbf F(x)=\sum\limits_{i=0}^jy_i\prod\limits_{i\ne j}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\)

可以做到\(O(k\log k)\)

局限性:模数必须是大于\(n\)的质数

斯特林数

\(S_k(n)=\dfrac{(n+1)^{\underline{k+1}}}{k+1}-\sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{k-i}\cdot\begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix}\cdot S_i(n)\)

证明

一个组合恒等式(先不讲为啥):

\[n^{\underline{k}} = \sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{ \left[{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right]}n^{i} \]

其中\(n^{\underline k}\)表示\(n\)\(k\)次下降幂
我们一般的\(n^k\)\(k\)\(n\)相乘,但是这里是每次乘都减一
展开就是\(n\times(n-1)\times(n-2)…\times(n-k+1)\)

\(i=k\) 时,有 \((-1)^{k-i} \begin{bmatrix}k\\i\end{bmatrix} n^i=n^k\),则

\[n^k = n^{\underline{k}} - \sum\limits_{i=0}^{k-1}(-1)^{k-i}{ \left[{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right]}n^{i} \]

是不是想到了什么?
没错,我们可以把\(1\)\(n\)\(k\)次方求和,显然这就是\(S_k(n)\),展开式子就是

\[S_k(n) = \sum_{i=1}^{n}i^k = \sum_{i=1}^{n}\left({i^{\underline{k}}-\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{k-j}{ \left[\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right]}i^j}\right) \]

显然的想法拆开求和符号。
对于第一项,转化为组合数。
使用组合恒等式合并,再展开组合数,有:

\[\begin{aligned} &\sum\limits_{i=1}^{n}i^{\underline{k}}\\ =&k!\sum_{i=1}^{n}\dfrac{i^{\underline{k}}}{k!}\\ =&k!\sum_{i=1}^{n}{\left(\begin{matrix}i\\k\end{matrix}\right)}\\ =&k!{\left(\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}\right)}\\ =&\dfrac{(n+1)^{\underline{k+1}}}{k+1} \end{aligned}\]

对于第二项,只有 \(i^j\)\(i\) 有关,交换求和符号,有:

\[\begin{aligned} &\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^{k-j}{ \left[\begin{matrix}k\\j\end{matrix}\right]}\sum_{1}^{n}i^j \\= &\sum_{i=0}^{k-1} \cdot { \left[{\begin{matrix}k\\i\end{matrix}}\right]\,} \cdot S_i(n) \end{aligned}\]

这样就得到了上面的式子。

摆脱了质数的限制,时间复杂度\(O(k^2)\)

伯努利数 伯努利多项式

???果断抄式子走人

先求伯努利数,暴力算暴力算暴力算,多项式求逆

他们在说什么?不知道,走了

灾难始终慢我一步

\(\dfrac{x}{e^x-1}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\dfrac{B_i}{i!}x^i\)

\(\sum\limits_{i=0}^\infty \dfrac{\large\beta_i(t)}{i!}\cdot x^i=\dfrac{x}{e^x-1}\cdot e^{tx}\)

\(S_k(n)=\dfrac{1}{k+1}\sum\limits_{i=0}^k\dbinom{k+1}{i}\cdot(n+1)^i\cdot B_{k+1-i}\)


斯特林数

挪出去了,见此处斯特林数

  • 第一类斯特林数
  • 第二类斯特林数
  • 上升幂和下降幂

容斥原理

挪出去了,见此处容斥原理

  • 容斥原理
  • min-max容斥

写在最后

\(\texttt{gyh}\)也太神了吧

为什么我这么菜/kk

哆啦诶喂梦,爱了爱了!

posted @ 2020-08-02 19:04  Loceaner  阅读(292)  评论(3编辑  收藏  举报