2023 1014 模拟赛

• 首先考虑推式子
  显然有 \(n^2*(n+p)=m^3\)
• 此时，假设 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 均含有 \(p\) 作为质因子，可设 \((n+p)=k*p\) ，则有 \(n=(k-1)*p\)
  带入式子（\(n^2*(n+p)=m^3\)）中，化简得到 \((k-1)^2*k*p^3=m^3\) ，由于 \(p^3\), \(m^3\) 均为立方数，那么易知 \((k-1)^2*k\) 也应该是一个立方数，但这并不可能（因为 \((k-1)\) 与 \(k\) 显然互质，所以若 \((k-1)^2*k\) 是立方数，那么 \(k\) 与 \((k-1)\) 也应该都是立方数，略想一下可知不可能）
  所以假设不成立，即 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 不（不均）含有 \(p\) 作为质因子，易知这两者只要有一个不含有 \(p\) 作为质因子，\(n\) 就不含有 \(p\) 作为质因子，即为 \(n\) 与 \(p\) 互质
  接下来 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 均不含有 \(p\) 作为质因子
• 此时，再次假设 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 含有一个共同的质数因数，为 \(q\)
  显然，若 \(n^2\) 含有 \(q\) ，那么 \(n\) 必定含有 \(q\) , 又因为 \((n+p)\) 含有 \(q\) ，所以 \(p\) 也含有 \(q\)
  \(q\) 不可能是 \(p\)，前面已证
  所以矛盾，不成立，即 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 不含有任何公共的共同的质数因数，即 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 互质
  又因为有 \(n^2*(n+p)=m^3\)
  所以易知 \(n^2\) 与 \((n+p)\) 应该均为立方数（ \(m^3\) 的每种质因数，只能含在其中一个数中）
• 设 \(n^2=x^3\) , \((n+p)=y^3\)
  因为 \(n^2\) 既是完全平方数，又是立方数，则其中每个质因数的次数都为\(6\)的倍数，所以易知 \(n\) 也是立方数
  设 \(n=z^3\)
  与 \((n+p)\) 作差，得 \(p=y^3-z^3\) ，展开 \(p=(y-z)*(y^2+z^2+yz)\)，由于 \(p\) 是一个质数，那么两个因式中必有一个为 \(1\) ，另一个为 \(p\) ， \(y\) \(z\) 均为正整数，则易知 \((y-z)\) 应该为 \(1\)
  带入回去，\(p=y^2+z^2+yz=(z+1)^2+z^2+z*(z+1)=3z^2+3z+1\)
  枚举 \(z\) 求解，时间 \(\sqrt L\) ，但我们发现并不是每个 \(z\) 都能通过上式得出质数，于是我们再大力判断算出的 \(3z^2+3z+1\) 是不是质数，时间 \(\sqrt L\)，可以线性筛优化一下，判断质数的时间可以缩小，可过