中国剩余定理的应用

设n>=2,m1,m2,....mn，是两两互质的正整数，记 M = ∏mi, Mi = M/mi.

则同余方程组

　　　　　　X≡a1（mod m1）

                 X≡a2 (mod m2)

　　　　　　X≡an (mod mn)

有对模M的唯一解

　　　　　　X≡∑aiMiMi’(mod M)

上述就是中国剩余定理

下面给出求此类同余方程组最小非负整数解的代码 LL 代表 long long

 1 LL China(LL r)
 2 {
 3     LL M = 2;
 4     LL i,Mi,x0,y0,d,ans = 0;
 5     for(i=1;i<=r;i++){
 6         M *= m[i];
 7     }
 8     for(i=1;i,=r;i++){
 9         Mi = M/m[i];
10         ex_gcd(Mi,m[i],x0,y0);
11         ans = (ans+Mi*x0*a[i])%M;
12     }
13     if(ans < 0) ans += M;
14     return ans;
15 }
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然后以poj1006 这个题目来练一下手 链接 http://poj.org/problem?id=1006

根据题意可以得到同余方程组    X≡p（mod 23）

　　　　　　　　　　　　　　 X≡e（mod 28）

　　　　　　　　　　　　　　 X≡i（mod 33）

注意到 23 28 33是两两互质整数，满足中国剩余定理的使用条件，根据上面给出的代码容易解决，题目所求得解释大于d的最小整数解

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <iostream>
 4 #include <stack>
 5 #include <queue>
 6 #include <map>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <vector>
 9 
10 using namespace std;
11 
12 const int maxn = 1000005;
13 
14 typedef long long LL;
15 
16 LL a[20],m[8],M;
17 
18 LL ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
19 {
20    if(b == 0){
21         x = 1;
22         y = 0;
23         return a;
24    }
25    LL r = ex_gcd(b,a%b,x,y);
26    LL t = x;
27       x = y;
28       y = t - a/b*y;
29       return r;
30 }
31 LL China(LL r)
32 {
33      M = 1;
34     LL i,Mi,x0,y0,d,ans = 0;
35     for(i=1;i<=r;i++){
36         M *= m[i];
37     }
38     for(i=1;i<=r;i++){
39         Mi = M/m[i];
40         ex_gcd(Mi,m[i],x0,y0);
41         ans = (ans+Mi*x0*a[i])%M;
42     }
43     if(ans < 0) ans += M;
44     return ans;
45 }
46 
47 int main()
48 {
49     int cas = 0;
50     LL p,e,i,d,temp;
51     while(scanf("%lld%lld%lld%lld",&p,&e,&i,&d)!=EOF){
52         cas++;
53         if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1) break;
54         a[1] = p;
55         a[2] = e;
56         a[3] = i;
57         m[1] = 23;
58         m[2] = 28;
59         m[3] = 33;
60         LL r = 3;
61         LL ans = China(r);
62         while(ans <= d) ans += M;
63         printf("Case %d: the next triple peak occurs in %lld days.\n",cas,ans-d);
64      }
65 
66 
67     return 0;
68 }
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posted @ 2015-11-03 20:56  lmlyzxiao  阅读(504)  评论(0)  编辑  收藏  举报