7.7洛谷多校3补

A

一个DAG，当一个点作为控制点时，它可以控制所有它指向的点。有边直接相连的点不能都为控制点，每个点要么被控制要么是控制点，求最少的控制点数量。

n<=10^5 m<=10^6

题解：

入度为0的点必定为控制点。

直接拓扑排序，控制点和它所控制的点直接删除，再让新的入度为0的点成为控制点即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int tot=0,ne[N*10],t[N*10],he[N],d[N],q[N],py[N];
void link(int x,int y)
{
    tot++;
    ne[tot]=he[x];
    he[x]=tot;
    t[tot]=y;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        link(x,y);
        d[y]++;
    }
    int k=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) if (!d[i]) q[++k]=i;
    int i=0,ans=0;
    while (i<k)
    {
        i++;
        int x=q[i],fl=0;
        if (!py[x]) ans++,fl=1;
        for (int j=he[x];j;j=ne[j])
        {
            py[t[j]]=py[t[j]]+fl;
            d[t[j]]--;
            if (d[t[j]]==0) q[++k]=t[j];
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

 

B

给定n个数a[1]到a[n]和x，设μ(x)为x的莫比乌斯函数，给出m个询问形如(l,r)，求i（从l到r)∏(μ(a[i])+a[i]+x) %998244353

LCM(a[i])<=10^15 a[i]<=10^15 n,m<=3*10^5

题解：

LCM(a[i])是一个很有用的性质，说明所有a[i]的不同的质数因子只有十几个。

所以求出所有质数因子，然后对每个数暴力分解求莫比乌斯函数即可，答案的话可以用类似前缀积的东西处理，但不能是前缀积，遇到0特判。

质因数分解我用的是pollared rho，标程给的做法是直接暴力...很难认同。

pollared rho不会做很多次，每次找到一个非1的数分解找到其质因数，然后让所有的数试除这些质因数，并去掉试除部分，这样就可以保证每个质数因子不会被重复找。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

#include<time.h>
#define ll long long

#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 10000+10
#define cle(a) memset(a,0,sizeof(a))
const double eps=1e-5;
const int mo=998244353;
using namespace std;

const int S=5;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小
//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=1;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)
{
    if(n==1)return x%mod;
    x%=mod;
    ll tmp=x;
    ll ret=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    return false;
}
// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if(n<2)return false;
    if(n==2)return true;
    if((n&1)==0) return false;//偶数
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0){x>>=1;t++;}
    for(int i=0;i<S;i++)
    {
        ll a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}
ll factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(a==0)return 1;//???????
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        ll t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
ll Pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    ll x0=rand()%x;
    ll y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(ll n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}
long long ksm(long long x,long long y)
{
    long long ret=1;
    while (y)
    {
        if (y&1) ret=ret*x%mo;
        x=x*x%mo;
        y=y>>1;
    }
    return ret;
}
long long a[500050],b[500050],c[500050],mu[500050],s[500050];
int main()
{
    //freopen("test.in","r",stdin);
    int n,m,x;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),b[i]=a[i];
    int kk=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (b[i]!=1)
        {
            tol=0;
            findfac(b[i]);
            for (int j=0;j<tol;j++)
            {
                c[++kk]=factor[j];
                for (int k=1;k<=n;k++) while (b[k]%factor[j]==0) b[k]=b[k]/factor[j];
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        b[i]=a[i];
        mu[i]=1;
        for (int j=1;j<=kk;j++)
        {

            if (b[i]%c[j]==0)
            {
                int tmp=0;
                while (b[i]%c[j]==0)
                {
                    tmp++;
                    b[i]=b[i]/c[j];
                }
                if (tmp>=2)
                {
                    mu[i]=0;
                    break;
                }
                else mu[i]=-mu[i];
            }
        }
    }
    a[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=(a[i]+mu[i]+x)%mo;
        if (a[i]==0) s[i]=1,a[i]=1;
        s[i]=s[i]+s[i-1];
        a[i]=a[i]*a[i-1]%mo;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int l,r;
        scanf("%d%d",&l,&r);
        if (s[r]-s[l-1]) printf("0\n");
        else printf("%lld\n",a[r]*ksm(a[l-1],mo-2)%mo);
    }
    /*ll n;
    while(cin>>n){
        tol=0;
        findfac(n);
        for(int i=0;i<tol;i++)cout<<factor[i]<<endl;
        //质因子
    }*/
    return 0;
}