利用生成函数对二项次反演和莫比乌斯反演的证明

对于二项式反演和莫比乌斯反演, 众所周知的证明给我的印象是对着结论干, 感觉很不优美， 就想试试有没有其它办法
前置知识：指数型生成函数(EGF)和狄利克雷生成函数(DGF)的定义

二项式反演

• 内容

\[g_n = \sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}f_i\iff f_i = \sum_{i = 0}^{n}(-1)^{n - i}\binom{n}{i} g_i \]

• 证明

设 \(f(x)\) 为数列 f 的 EGF, \(g(x)\) 为数列 g 的 EGF, 则有

\[\begin{aligned} g(x) &= e^xf(x)\\ e^{-x}g(x) &= f(x) \end{aligned} \]

展开即可

莫比乌斯反演

• 内容

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d)\iff f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

• 证明

设 \(M(x)\) 为莫比乌斯函数的 DGF, \(f(x)\) 为 f 数列的 DGF, \(F(x)\) 为 F 数列的 DGF, 则有

\[F(x) = \zeta(x)f(x)\\ F(x)\zeta^{-1}(x) = f(x) \]

注意到

\[\frac{1}{\zeta(x)} = M(x) \]

带回原式即可完成证明。