费马小定理的一种理解和证明

费马小定理

​ 当 p 为质数时，有

\[\begin{aligned} a^p&\equiv a\pmod{p}\\a^{p-1}&\equiv1\pmod{p}\\\gcd(a,p)&=1 \end{aligned} \]

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我们考虑证明 \(a^p\equiv a\pmod{p}\) , 我们将 \(a^p\) 当做由 a 种元素组成的长度为 p 的排列的个数，如当 a=2,p=2 时，我们假设 2 种元素为a,b,则组成的排列有 \(aa,bb,ab,ba\) , 然后我们将 \(ab,ba\) 这种形式的集合称作一个 \(cycle\) ,如 \(aab,aba,baa\) 这三个排列组成一个 \(cycle\) ,\(cycle\)也可理解成一个排列，这个排列的元素依次放在一个圆，将这个圆进行旋转而得到的所有排列的集合。

例子：当 a=2 ,元素分别为 a,b,p=3 时, cycle 分别为（一个 \(\{\}\) 里的所有元素表示一个 cycle )

\[\{aaa\}\\\{aab,baa,aba\}\\\{abb,bab,bba\}\\\{bbb\} \]

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不然发现，当长度大小，即 p 时一个 \(cycle\) 要么有1个元素，要么有p个元素,而当一个 \(cycle\) 元素个数为1时，这个 $ cycle $ 的集合的元素为像 \(aaa\) 这类，因此一个\(cycle\)个数为1的数量只有a个，而其它 cycle 的元素个数有 p 个，所以

\[\begin{aligned} a^p-a&\equiv0\pmod{p}\\a^{p-1}&\equiv1\pmod{p} \end{aligned} \]