DAY2

一道算法题的相关联想

原题:
定义分数集合\(S_n=\){\(\frac{p}{q} :(p,q)=1,p<q≤n,p,q∈N^+\)},
输入n,k，要求输出\(S_n\)中第k大的元素
例：\(S_3=\){\(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}\)}

做法

显然知道的是，\(S_n\)中最大的元素一定是\(\frac{n-1}{n}\)
第二大的元素一定是\(\frac{n-2}{n-1}\),这个并不是一个平凡或者显然的结论，不过如果略微思考一下，是可以验证其的正确性的：设\(\frac{n-2}{n-1}<\frac{p}{q} <\frac{n-1}{n}\) ,q显然不会是n或是n-1，于是\(\frac{p}{q}\)至多为\(\frac{n-3}{n-2}\),就产生矛盾了
于是在这样的想法上，考虑从最大的元素逐步推出第二大···直到第k大···
（编不下去了）在没有一定的数学基础情况下，只能通过观察法找规律-> 发现对于连续的三项\(\frac{x_1}{y_1}<\frac{x_2}{y_2}<\frac{x_3}{y_3}\),一定有\(\frac{x_2}{y_2} =\frac{x_1+x_3}{y_1+y_3}\)
于是如果不断指标出前两项的\(\frac{x_3}{y_3},\frac{x_2}{y_2}\),就能在一定程度上得到下一项，问题似乎得到了解决，复杂度为O(k)
但是关于\(x_1\)的选取并不是简单的\(x_2-x_3\),因为\(x_1+x_3\)和\(y_1+y_3\)会有公因子，于是得到\(x_1 = kx_2-x_3\),于是问题是只需要找到这个k即可，一个明显的限制是\(x_3<kx_2≤x_3+n\)，所以k的取值也并不是唯一的，这时候问题来了：应该取哪个k,大概估计一下，\(\frac{kx_2-x_3}{ky_2-y_3}\)是关于k单增的（\(\frac{x_2}{y_2}>\frac{kx_2-x_3}{ky_2-y_3}\),分子分母同加会增大），所以k理所应当的取最大的那个，\(k=(x_3+n)\)/\(x_2\)(/代表整除)
于是现在在一个默认的规律下得到了一个速度相当快的算法，写起来也十分简洁

代码

#include<cstdio>
using namespace std;
int main()
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	int x0=n-1;
	int y0=n;
	int x1=n-2;
	int y1=n-1;
	int x;
	int y;
	while(k-1)
	{
    	int r = (n+y0)/y1;
    	y = r*y1 - y0;
    	x = r*x1 - x0;
    	y0 = y1;
    	x0 = x1;
    	y1 = y;
    	x1 = x;
    	--k;
	}
	printf("%d/%d",x0,y0);
	return 0;
}

数学原理

上面的解法解释的问题是很大的，尽管通过规律以及想当然的算法就是最终的正确算法，不过未经证明的东西最好还是不要去使用为妙，算法最重要的是原理的正确性
对于这一道题目，看到\(S_n\)的定义之后，已经可以完全锁定，\(S_n\)正是著名的法雷数列
法雷数列的定义与题目中的定义一致，具有许多优秀的性质与数论的多个部分都有交集（但都不深）下面逐步挖掘法雷数列的性质并给出证明
1.n阶法雷数列会新增\(\varphi(n)\)项相较于n-1阶法雷数列（\(\varphi(n)\)是欧拉函数,代表了与小于n,与n互素的数的个数。）

这个结论是显然的，只有与n互素的数才会以分子的形式进入第n阶。
2.法雷数列始终有奇数项。

这个也是相对显然的，因为\(\varphi(n)\)只有在n=2的时候是奇数。
3.对于法雷数列中任意相邻的两项\(\frac{p}{q}＜\frac{m}{n}\),一定有mq - np = 1;

这个是法雷数列相当重要的性质，考虑用归纳法证明，对n阶法雷数列进行归纳，前面的n容易验证

考虑对已经对n阶成立，考虑证明第n+1阶法雷数列，因为只需要考虑n+1阶新插入的数对两侧的影响，于是对于任何\(\frac{p_1}{q_1}＜\frac{p_2}{q_2}\)连续出现在n阶中，其中插入了\(\frac{x}{y}\) (y=n+1),
分别设 \(xq_1-yp_1=t_1\)\(~~~~~~~~~~~~~~~~~\)\(yp_2-xq_2=t_2\)
所以有 \(\frac{x}{y}-\frac{p_1}{q_1} = \frac{t_1}{yq_1}＜\frac{1}{q_1q_2}\)···(1)\(~~~~~~~\)\(\frac{p_2}{q_2}-\frac{x}{y} = \frac{t_2}{yq_2}＜\frac{1}{q_1q_2}\)···(2)(第二个不等号是因为,\(\frac{p_2}{q_2}-\frac{p_1}{q_1}=\frac{1}{q_1q_2}\))
考虑\(\frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}\),因为\(p_2q_1-q_2p_1=1\),所以\((p_2+p_1)q_1-(q_2+q_1)p_1=1\),所以\(\frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}\)是一个最简分数，因为\(\frac{p_1+p_2}{q_1+q_2}\)没有介于\(\frac{p_1}{q_1}＜\frac{p_2}{q_2}\)之间(不在第n阶法雷数列内)，所以一定有，\(q_1+q_2≥y=n+1\)结合(1)+(2):\(y = t_1q_2+t_2q_1\),所以一定有\(t_1=t_2=1\)
对于0，1两边界的插入情况，结论是显然的。
于是这个性质也证明,同时也得到“新数”分子分母恰好等于旁边“老数”分子分母和。（老数旁边是新数就不成立了，例如\(S_3\)中的\(\frac{1}{2}\)项）

4.连续三项\(\frac{p_1}{q_1}<\frac{p_2}{q_2}<\frac{p_3}{q_3}\),有\(\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1+p_3}{q_1+q_3}\)

这个结论利用3的公式将得到两个等于1的式子，相减即可得到证明
以上结论已经覆盖到了法雷数列的大部分内容与性质

于是我们证明了先前解题过程的猜想，证明了我们算法的可行性。

总结

留念一下，在大学也能接触到这种东西，有些感慨。