DAY1

一道数学期望题引发的联想

原题：
设一个办公楼有n+1层，m个人在一楼进入电梯，若每个人在第2到n+1层楼走出电梯的概率都相
同，直到电梯中的人走空为之，求电梯需停次数的数学期望。

这个题目出现在教材课后习题里面说明这个题目的难度并不高，然而这个题给我做的满头大汗
(目前还不是很熟悉markdown，得找时间学一下改善一下格式)

标准做法

分别考虑每层楼对最终的贡献为 0 or 1,先计算出每层楼贡献的期望
再利用求和公式求和即可
首先算出每个 \(E(x_i)\)相加（好像不太会打公式）
\(E(x_i)=1×(1-P(第i层无人)+0×P(第i层无人)\) 其中容易知道 \(P(第i层无人)={(\frac{n-1}{n})}^m\)
利用期望可加性累加得到了最终答案，\(E = n-n(1-{\frac{1}{n}})^m\)
这个做法不可不谓精妙！(我好菜！QAQ)

我愚蠢的算法

很暴力的计算出P(X=k)的值，然后用期望定义公式求\({\sum_{k=0}^n}kP(X=k)\)
于是分两步走，1.计算\(P(X=k)\) 2.计算期望求和
\(P(X=k)\)(后面简写P(k))的计算也不是一帆风顺（我太菜了）
由于总方法数是\(n^m\),只需考虑X=K的方法数
起初我的计算方式是 \({n \choose k}·k^m - {n \choose k-1}·(k-1)^m\)
前者后者分别代表了所有集中在某k , k-1层的方法数
然而这样算是错误的QAQ，例如 0 2 1 1 0会在前4个数选中时被计算，也会在后四个数被选中时被计算
于是只能另寻出路，X=k的方法总数就是m个元素到k个元素的满射总数
(应该第一时间想到，看来大一废了一年人也已经废了TAT)
于是我开始回想满射公式（印象中是用容斥原理推出来的）
推了半天忘了怎么推的了，网上百度了一下，发现用二项式反演可以直接推出来
因为有\(n^m= \sum_{i=0}^n {n\choose i}·g(m,i)\)对任意n成立
反演之后\(g(m,n)= \sum_{i=0}^n {n\choose i} (-1)^{n-i}·i^m\)
这个反演我之前也完全没有印象,于是就查了一下，在博客园里面找到了答案，算是入坑契机吧
在完全弄懂了容斥原理和二项式反演之后
终于可以开始着手解决问题
于是原式 \(=\)

\[\sum_{k=0}^n k { n\choose k} \sum_{i=0}^k (-1)^{k-i} {k\choose i} i^m \]

交换求和符号
\(= \sum_{i=0}^n i^m(-1)^i \sum_{k=i}^n k {n\choose k}{k \choose i} (-1)^k\)
经典的组合公式 \({n\choose k}{k\choose i}={n \choose i}{n-i \choose {k-i}}\)
原式\(= \sum_{i=0}^n i^m(-1)^i {n \choose i} \sum_{k=i}^{n} {n-i\choose k-i}k(-1)^k\)
先把i = n 这一项提出来（其值为\(n^{m+1}\)），因为在 \(n-i \choose {k-i}\)中只有一项（后面的二项式无法消去）
开始重点处理 \(\sum_{k=i}^{n}{n-i\choose {k-i}}k(-1)^k\)
这个等价于\(\sum_{k=0}^{n-i}{n-i\choose {k}}{(k+i)}(-1)^{k+i}\)
把\((-1)^i\)提出去，然后把\(+i\)的那部分（\(i \sum_{k=0}^{n-i}{n-i\choose k}(-1)^i\)）提出去，由于二项式定理肯定为\(0^{n-i}\)（前面的i=n的一项在这里无法用二项式定理消去，因此单独提出来）
所以计算\(\sum_{k=0}^{n-i}{n-i\choose {k}}{(k)}(-1)^{k}\)即可，原式变成

\[=n^{m+1}+\sum_{i=0}^{n-1} i^m {n \choose i} \sum_{k=0}^{n-i} {n-i\choose k}k(-1)^k ····* \]

(最喜欢用的处理方法)考虑母函数 \(f=\sum_{n=0} x^n\sum_{k=0}^n {n\choose k}k(-1)^k\)
再做处理交换
\(f=\sum_{k=0}k(-1)^k \sum_{n=k} x^n{n\choose k}\)
这里有个经典的公式代换
\({n\choose k} = {-k-1\choose n-k}(-1)^{n-k}\)
所以有\(f=\sum_{k=0}k(-x)^k \sum_{n=k} (-x)^{n-k}{-k-1\choose n-k}\)
根据二项式定理得到
\(f=\sum_{k=0}k\frac{(-x)^k}{(1-x)^{k+1}}\)
\(k = {1\choose k}\)
\(f=\frac{1}{1-x} \frac{\frac{-x}{1-x}}{(1+\frac{x}{1-x})^2} =-x\)
所以得到f只有在n=1，时系数值为-1，其余时候为0
所以只有在n-i=1，时式中第二个求和号为-1，其余为0
所以式值为\(n^{m+1} - n(n-1)^m\)
再除去\(n^m\)最后的期望为之前的答案 \(n - n(\frac{n-1}{n})^m\)

总结一下

我前前后后在这道题上花了有半天时间，才用自己的方法搞出来，主要原因还是对期望的认识理解太低了，停留在了简单的定义和递推之上，但是我又费劲心力去搞母函数这些东西，是因为我在算的时候发现我已经渐渐忘记了这些方法是怎么用的了，以前用的很熟练的东西现在不会用是一种很难受的感觉，并写下这篇随笔以提醒自己以后对方法技术敏感一点，以后也可以随时回来查阅，不要让过去学的知识白白浪费掉。