图论

图论：

<绪论>

1 运用图论有很多处理社会上的事情。比如：交通网，电信网，供水网，互联网等。

2 图分为四种：

1 无向图

2 有向图

3 无向带权图

4 有向带权图

3 其中最主要的算法是遍历算法:包括广度算法，深度算法。

4 研究方向还是从逻辑结构，存储结构还有数据算法运算。

5 定义：顶点，边。

比如：v = {1,2,3,4,5}   一个编号对应一个唯一的顶点。

          G={(1,2),(1,3),(2,3),(2,4).....}   连接两个不同顶点的边的有限集合。

即逻辑结构是多对多。

6 无向图：(  i  ,  j  )  i到j   或是  j到j.

7 有向图：(  i  ,  j  )  i到j   。

8 重中之重：每个元素有0个前驱或多个前驱，每个元素也可以0个后继或多个后继。

<二>基本术语：

1 无向图：顶点，边（我不多解释，你懂得）

2 有向图：顶点：对于<i,   j>来说i是起点，j是终点。

          边：< i ， j>对于这个来说，从i出发的是一条出边，从j进入的是一条入边。

3 度数：一个顶点到所有边的数目。

4 出度与入度：对于有向图来说，出度就是从一个点指向另一个点的边数，而入度就是进入这个点的变得数目，所以在有向图里你懂得：出度加入度就是有向图的度。

5 度数/2就是这个图的边数。

6 完全图：

1 无向图：每两个顶点之间就存在一个边。（一个边）共n(n-1)/2条边。

2 有向图：每两个顶点之间存在两个边（出边与入边）。（两个边）共n(n-1)条边。

7 稠密图：当一个图完全接近于完全图时。

8 稀疏图：当一个图远小于完全图。

9 子图：你懂得。

10 路径与路径长度：

1 无向：顶点i到j的序列。比如(i1,i2),(i2,i3),(i3,i4),(i4,i5).......

2 简单路径：除开始点和结束点可以相同，其余点都不同的序列就是简单路径。

3 回路或环：开始点与结束点为同一顶点。

4 简单回路：开始点和结束点相同的简单路径。

11 连通：

 无向图：顶点i与顶点j有路径，则二者是连通的。

 连通图：任意两个顶点都连通，则为连通图，否则为非连通图。

 连通分量：极大连通子图。

 任何连通图都只有一个连通分量。

 非连通图有多个连通分量。

有向图：顶点i到顶点j有路径。则为连通的。

 强连通图：任意两个顶点i到j都连通，那么该图为连通图。

强连通分量：你懂得。

 

12 权：图中每一个边上都有一个数值，这个数值就是权

13 权有可能是一个顶点到另一个顶点的距离，也有可能是花费代价。

14 网：边上带权的图。

 

三<图的邻接矩阵存储结构，图的邻接表存储结构>

1 首先来看邻接矩阵存储结构：

1 二维矩阵：

比如： 0 1 1 无穷

           1    0   1   0

           无穷    1   0   1

           1    无穷   0   0

其中1代表 有相邻的边

0      指向自身

无穷   指不到所指的那条边

其中无向图是对称矩阵：因为a到b,则b也到a.

有向图不可能是对称矩阵：因为a到b,但是b不一定到a.

无向图的度：第i行或第i列是为1的元素。

有向图的度：第i行与第i列的1的数目之和。（出度+入度）。

数据类型定义：自己看书。

2 邻接表：

邻接表分为两部分，一个是顶点，另一个是边。

表头节点包括两个部分，一个是头，另一个是指针，（头是信息吧，预估）。

边表节点，包括三个部分，一个是id,一个是权值，另一个是地址，指向下一个节点。

顺序与链式相结合：在表头的地方，可以使用顺序表，

                      在表的边节点上，可以使用链表。

<第三个重点>：图的遍历：（这里先都以邻接表为例）

1 遍历可以分为两种：广度遍历算法BFS（breadth first search）与深度遍历算法DFS(deep first search)。

2 遍历策略：

1 DFS:在树里我们就用过，比如先序算法。

2 BFS:在树里我们也用过，比如层次遍历算法。

3 DFS:

1 访问初始点：顶点。

2 选择与顶点相邻却没有被访问过的为下一个顶点。

3 直到所有的都被访问。

注：递归可以相当于回退。

重中之重：相邻的中，或许有的已经作为其他顶点的邻接点被访问了，但是由于遍历，另外一个顶点还是有可能碰到他，那么如何判断他到底被访问过还是没有？

答：可以用一个数组：这个数组里面存放的是从1开始的id编号值得状态值：其中编号为1的已经被访问过，编号为0的是还没有被访问。由此来判断。

 

 

4 BFS:

1 访问顶点

2 访问顶点的所有邻接点。

3 都访问完了，在去掉第一个点，在访问第二个邻接点的所有邻接点。

注：队列可做删除的用处。

 

5 非连通图的遍历：

说明：虽然是非连通图（即可能有两个连通分量或是更多，但是在邻接表里都会去表示，而表示出来的效果是前几个顶点的边节点所代表的id值与后面的节点的id值脱节）。

算法我就不写了，完了自己写。

 

6 生成树：

顾名思义：生成树就是由图变为树。图生成的树边是(n-1),即图的顶点比如是5,那么生成的树必须有4条边。

因此，会有两个特点。

<特点一>：如果再多一条边，那么构成环。

<特点二>：如果再少一条边，那么非连通。

7 最小生成树：即生成的树带权：这样就有大小之别，比如路程最短，又比如费用最少。

定义：图的所有生成树中，把权值相加所得之和的最小值所指向的树为最小生成树。

8 最小生成树的prime算法。

点睛之笔：需要两个数组：lowcost[]  closest[]

9 最小生成树的kruskal算法。