HDU 2256 Problem of Precision(矩阵高速幂)

题目地址：HDU 2256

思路：

(sqrt(2)+sqrt(3))^2*n=(5+2*sqrt(6))^n;

这时要注意到(5+2*sqrt(6))^n总能够表示成an+bn*sqrt(6);

an+bn*(sqrt(6))=(5+2*sqrt(6))*(a(n-1)+b(n-1)*sqrt(6))

                        =(5*a(n-1)+12*b(n-1))+(2*a(n-1)+5*b(n-1))*sqrt(6);

显然，an=5*a(n-1)+12*b(n-1);bn=2*a(n-1)+5*b(n-1);

此时能够非常easy的构造出一个矩阵来高速求an和bn：

5,12

2,5

那么下一步应该怎么办呢？对于我等菜渣来说最好的办法当然是。。打表。。找规律。。

然后规律就是ans=2*an-1；

那么怎么证明呢？证明例如以下：

(5+2*sqrt(6))^n=an+bn*sqrt(6);  (5-2*sqrt(6))^n=an-bn*sqrt(6);

(5+2*sqrt(6))^n+(5-2*sqrt(6))^n=2*an;

然后，因为

(5-2*sqrt(6))^n=(0.101....)^n<1;

再因为

(5+2*sqrt(6))^n=2*an-(5-2*sqrt(6))^n

可得

2*an-1<(5+2*sqrt(6))^n<2*an;

所以对(5+2*sqrt(6))^n向下取整的结果一定是2*an-1；

证明完成。

所以说仅仅要用矩阵高速幂求出an就可以。

代码例如以下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int mod=1024;
struct matrix
{
    int ma[3][3];
}init, res;
matrix Mult(matrix x, matrix y)
{
    matrix tmp;
    int i, j, k;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            tmp.ma[i][j]=0;
            for(k=0;k<2;k++)
            {
                tmp.ma[i][j]=(tmp.ma[i][j]+x.ma[i][k]*y.ma[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return tmp;
}
matrix Pow(matrix x, int k)
{
    int i, j;
    matrix tmp;
    for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) tmp.ma[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1) tmp=Mult(tmp,x);
        x=Mult(x,x);
        k>>=1;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    int t, k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&k);
        init.ma[0][0]=5;
        init.ma[0][1]=12;
        init.ma[1][0]=2;
        init.ma[1][1]=5;
        res=Pow(init,k-1);
        int ans=(2*(res.ma[0][0]*5+res.ma[0][1]*2)-1)%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}