数论 for OI
18年讲了一遍oi数论，上学期听了两遍初等数论，这学期又听了一遍，马上又要讲，于是写了一份讲义。写的时候感觉要把一个脑子里知道的结构描述出来真的很难，有时候句子都写不通顺了。
1 整数集上的整除关系
1.1 定义
对于\(a, b \in \mathbb{Z}\)，如果存在\(c \in \mathbb{Z}\)，使\(a=bc\)，则说\(b\)整除\(a\)，记作\(b|a\)，并称\(a\)是\(b\)的一个倍数，\(b\)是\(a\)的一个约数. 下文的大部分讨论是在非负整数集\(\mathbb{N}\)上进行的.
1.2 性质
在这里仅指出一些比较常用的性质：
- 整除具有传递性，如果\(a|b, b|c\)，则有\(a|c\)
- 任何整数都能整除\(0\)
- 如果\(a|b\)且\(a|c\)，那么\(a\)也能整除\(b\)和\(c\)的任何整倍数组合，即\(\forall x, y \in \mathbb{Z}, a|(bx+cy)\)
1.3 约数
如果\(d\)是\(a\)的一个约数，那么\(\frac{a}{d}\)也是\(a\)的一个约数. 当\(d<\sqrt{a}\)时，\(\frac{a}{d}>\sqrt{a}\)，反之亦然. 因此我们看到，一个正整数\(a\)的约数中，小于\(\sqrt{a}\)的部分和大于\(\sqrt{a}\)的部分是成对出现的，每一对\(d_1, d_2\)都满足\(d_1d_2=a\)
还有一个特殊情况：如果\(a\)是完全平方数，\(\sqrt{a}\)本身也是\(a\)的一个约数，它与自己成对出现.
到这里容易观察到约数的一些性质：\(a\)的约数数量不超过\(2\sqrt{a}\)——当然这是一个很松的上界. 非完全平方数的约数可以被完美地划分为一一对应的两部分，因此有偶数个约数. 而完全平方数会多出一个\(\sqrt{a}\)作为约数，因此有奇数个约数.
1.4 素数
如果一个正整数仅有自身和\(1\)两个约数，则称为素数. 在OI中，我们首先关心的是怎样判断一个数是否是素数，以及找出某个范围内的所有素数.
如果\(n\)是合数，那么它一定有至少一个不超过\(\sqrt{n}\)且不是1的约数. 因此素性检测最朴素的做法是在\([2, \sqrt{n}]\)中枚举并试除即可，复杂度为\(O(\sqrt{n})\). 在\(n\)更大时，OI中常用的算法是Miller-Rabin素性测试，如果有兴趣可以自行了解. 素性测试是一个经典的算法问题，学术界在这一问题上也有许多已有的成果，不过大多由于过于复杂，OI中并不涉及.
给定一个上界\(n\)，筛法可以用来求出不超过\(n\)的所有素数. 为范围内的每个整数置一个标记，初始为false，枚举\([2, \sqrt{n}]\)中的所有整数\(d\)，再将\(d\)的所有不超过\(n\)的倍数的标记置为true. 这样一来，所有合数都会被筛掉. 略去取整，它的时间代价是：
由于调和级数在\(n \rightarrow \infin\)时有近似\(H_n \sim \ln n\)，这一筛法的时间复杂度为\(O(n \log n)\)
注意到在枚举\(d\)时，作为合数的\(d\)是没有意义的，因为被它筛掉的数一定也会被\(d\)的某个质因子筛掉，因此可以仅在\(d\)是质数时对它的倍数进行枚举，这被称为埃氏筛法，时间复杂度改进到\(O(n \log \log n)\)
这一筛法依然是有浪费的，因为一个整数可能会被它的多个质因子重复筛掉. 欧拉筛让每个合数在它的最小质因子处被筛掉，从而达到了\(O(n)\)的时间复杂度. 它的算法过程如下：
- 将[2, n]的所有标记置
false，维护一个质数列表，初始为空 - 从\(2\)到\(n\)枚举\(i\)
- 如果\(i\)的标记依然是
false，则将\(i\)加入质数列表的末尾 - 从前向后枚举质数列表中的质数\(p_j\)
- 如果\(i \cdot p_j\)过大（超过\(n\)）则停止
- 将\(i \cdot p_j\)标记为
true - 如果\(p_j|i\)，则停止. 这意味着此时\(p_j\)是\(i\)的最小质因数，而在这之前（包括这一个），\(p_j\)都是\(i \cdot p_j\)的最小质因数.
- 如果\(i\)的标记依然是
由于每个合数仅会在\(p_j\)取它的最小质因子时被作为\(i \cdot p_j\)枚举到，内层枚举的次数也不超过\(n\)，时间复杂度是\(O(n)\).
std::vector<int> primes;
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
if(!vis[i]) primes.push_back(i);
for(size_t j = 0; j < primes.size(); ++j)
{
int cur = i * primes[j];
if(cur > n) break;
vis[cur] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
1.5 带余除法
对于\(a, b \in \mathbb{Z}, b>0\)，总可以找到恰好一组\(q, r \in \mathbb{Z}\)，使得
\(q\)被称为\(a\)除以\(b\)的商，\(r\)是余数.
用\(a\)除以\(b\)求余数的运算称作取模，记为\(r=a \bmod b\).
\(q\)是对\(\frac{a}{b}\)向下取整的结果，即\(q=\lfloor \frac{a}{b} \rfloor\)，因此取模运算满足\(a \bmod b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)
1.6 算术基本定理
我们不加证明地给出算术基本定理：任何正整数都可以唯一地表示成一组非降素数的乘积. 例如\(60=2 \times 2 \times 3 \times 5\). 一般我们将同一个质因子合并，写成\(n=\prod_i p_i^{q_i}\)的形式.
这个定理可以帮助我们了解许多\(\mathbb{Z}\)的性质. 如果我们将那些在乘积中没有出现的素数也列出来，并把它的次数记为\(0\)，则任何一个正整数都可以写成下面的形式：
这是一个无穷乘积，但其中仅有有限多个\(q_i\)是非零的. 这样一来，任何一个\(n \in \mathbb{Z}\)都对应着\(q_1, q_2, \dots\)这样一个无穷序列. 两个整数相乘对应着两个序列对应位置的相加.
在处理整除相关的问题时，这种看法有时会更加方便. 例如，如果\(a|b\)，则\(a\)的指数序列上对应位置总是小于等于\(b\). 这样也容易发现，如果枚举\(n\)的所有约数，就等价于在每个\(q_i\)处让约数的指数取遍\(0\)到\(q_i\). 因此\(n\)的约数数量\(\sigma_0(n)=\prod_i(q_i+1)\)
在进行质因子分解时，考虑到\(n\)至多有一个大于\(\sqrt{n}\)的质因子，朴素算法容易降低到\(O(\sqrt{n})\)
std::vector<std::pair<int, int> > factors;
for(int i = 2; i * i <= n; ++i)
{
if(n % i == 0)
{
int cnt = 0;
while(n % i == 0)
{
n /= i;
++cnt;
}
factors.push_back(std::make_pair(i, cnt));
}
}
if(n > 1) factors.push_back(std::make_pair(n, 1));
1.7 最大公约数，最小公倍数
将\(a, b\)的公共正因子中最大的那个称为\(a\)和\(b\)的最大公约数，记作\((a, b)\)，OI中一般记作\(\gcd(a, b)\)
如果观察质因子分解结果，容易发现\(\gcd(a, b)\)的每个指数都是\(a, b\)在对应位置上指数的最小值. 因此\(a, b\)的公共正因子集合正是\(\gcd(a, b)\)的因子集合.
同理，最小公倍数\(\mathrm{lcm}(a, b)\)是质因子分解中对应位置指数取最大值的结果. 观察到
这意味着
将\(a, b\)的公共正因子集合记为\(CD(a, b)\)，则\(\gcd(a, b)\)是其中的最大元.
容易自行验证，将\(a\)加上若干倍的\(b\)，则\(a, b\)的公共正因子集合不会改变，即
反之，对\(b\)加上若干倍的\(a\)也是一样.
考虑到\(a \bmod b=a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)，我们得到\(\gcd(a, b)=\gcd(a \bmod b, b)\). 利用这一性质，求\(\gcd(a, b)\)时，只需不断地用较大的模较小的，过程中公共正因子集合不变，直至其中一个为零，另一个非零整数即为答案. 这一算法就是欧几里得算法，也被称为辗转相除法.
int gcd(int a, int b)
{
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
1.8 互质
如果两个整数的最大公因数是\(1\)，则说它们互质. 考虑质因数分解，容易发现互质等价于质因子集合没有交集.
2 同余
2.1 定义
如果\(m|(a-b)\)，则称\(a\)与\(b\)模\(m\)同余，记作\(a \equiv b \pmod m\)
因此可以发现，如果\(n|m\)，那么\(a \equiv b \pmod m \Rightarrow a \equiv b \pmod n\)
在模数为\(m\)时，依据同余关系可以把整数集分为\(m\)个模\(m\)剩余类，分别是模\(m\)得到\(0, 1, \dots, m-1\)的整数组成的. 从每个剩余类中取一个元素，组成一个集合，就称为一个模\(m\)完全剩余系. 比较常用的模\(m\)完全剩余系是\(0, 1, \dots, m-1\)
在模\(m\)意义下，容易验证加法、减法、乘法的结构是保持的，因此可以直接把这些运算搬到一个完全剩余系上. 但是除法却不太容易进行：例如模\(6\)时，\(5 \times 2 \equiv 2 \times 2 \equiv 4 \pmod 6\)，那么在模意义下用\(4\)除以\(2\)应该得到\(2\)还是\(5\)呢？
2.2 除法
在模\(m\)意义下做除法，就等价于给定\(a, c\)，解同余方程\(ax \equiv c \pmod m\). 如果除法能够进行，就意味着这个同余方程有唯一解，而它又等价于下列不定方程：
这是由同余的定义得到的，下面我们对这种不定方程进行更深入的探讨.
2.3 Bezout定理
形如\(ax+by=c\)的不定方程有整数解的充要条件是\(\gcd(a, b)|c\)
证明：
考虑\(ax+by, x,y \in \mathbb{Z}\)可能取到的所有值，设其为\(I_{a,b}\)，即
该不定方程有整数解当且仅当\(c \in I_{a, b}\)，因此我们希望弄清楚\(I_{a,b}\)的结构. 容易验证\(I_{a, b}\)对加减法、取模都是封闭的，下面我们取出\(I_{a,b}\)中的最小正元素，设其为\(d\).
由于存在一组\(x, y \in \mathbb{Z}\)使\(d=ax+by\)，可以发现\(\gcd(a, b) | d \Rightarrow \gcd(a, b) \leq d\).
由于\(a, b\)都在\(I_{a,b}\)中，考虑到取模的封闭性，\(a \bmod d\)和\(b \bmod d\)都在\(I_{a,b}\)中，并位于\([0, d)\)里. 但是考虑到\(d\)是最小正元素，它们不能取\((0, d)\)中的值，因此\(a \bmod d=b \bmod d=0\)，即\(d|a, d|b\). 这样一来，\(d\)是\(a, b\)的公约数，于是有\(d \leq \gcd(a, b)\). 综合上一段的结论，得到\(d=\gcd(a, b)\)
类似地，利用取模的封闭性，可以发现\(I_{a,b}\)中的所有元素都是\(d\)的倍数. 到这里，\(I_{a,b}\)的结构很清晰了——它恰好包含\(\mathrm{gcd}(a, b)\)的所有倍数：
于是证明了Bezout定理.
回到上一节的同余方程，Bezout定理意味着\(ax \equiv c \pmod m\)在\(\gcd(a, m) | c\)时一定有解，而在\(\gcd(a, m) \nmid c\)时一定无解.
2.4 扩展欧几里得算法
证明了解的存在性后，需要一个算法在解存在时找出\(ax+by=c\)的解.
在欧几里得算法的最后一步，即\(a'=\gcd(a, b), b'=0\)时，解\(a'x+b'y=c\)是十分容易的：只需取\(x=\frac{c}{\gcd(a, b)}, y=0\). 下面在回溯过程中逐步倒推，得到最初的\(ax+by=c\)的解：
由\(a, b\)得到\(b, a \bmod b\)后，下一层递归并回溯得到了\(bx'+(a \bmod b)y'=c\)的一组解\(x', y'\).
考虑到\(a \bmod b = a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b\)，代入得到\(bx'+(a- \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b)y'=c\)，将\(a, b\)的系数整理得到：
因此只需取\(x=y', y=x'-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor y'\)即可
void exgcd(int a, int b, int c, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
// assert: c % a == 0
x = c / a;
y = 0;
return;
}
int k = a / b;
exgcd(b, a - k * b, c, y, x);
y -= k * x;
}
2.5 \(f(x)=ax \bmod m\)的性质
想象一个钟面上顺时针刻着\(0, 1, \dots, m-1\)，从\(0\)出发，每一步向前前进\(a\)格，即从当前位置\(c\)前进到\((c+a) \bmod m\)，那么哪些位置会被走到？
这其实对应着\(f(x) = ax \bmod m\)，由于\(x\)取模\(m\)同余的值时函数值显然相同，我们只考虑\(0 \leq x < m\).
在下面的讨论中，设\(d=\gcd(a, m)\)
根据2.3中的结论，我们知道\(f(x)\)会且只会取到\([0, m)\)中被\(d\)整除的那些值，共\(\frac{m}{d}\)个.
同时，考虑两个相差\(\frac{m}{d}\)的位置的函数值：
发现\(f(x)\)有\(\frac{m}{d}\)的周期. 同时考虑到值域中的\(\frac{m}{d}\)个值都要被取到，它们在一个周期中都被取到了恰好一次.
于是\(f(x)\)的结构就很清晰了：它以\(\frac{m}{d}\)为周期，每个周期中将\(d\)的\(\frac{m}{d}\)个倍数取遍一次. 在\(x\)取遍\(0, 1, \dots, m-1\)时，它重复了\(d\)个周期.
2.6 乘法逆元
根据上一节的讨论，我们考虑一个特殊情形：在\(a\)与\(m\)互质时，\(d=1\).
这意味着当\(x\)取遍一次\(\mathbb{Z}_m\)时，\(ax\)也取遍一次\(\mathbb{Z}_m\). 这正好满足了做除法的要求：\(x \rightarrow ax\)是一个\(\mathbb{Z}_m\)到\(\mathbb{Z}_m\)的双射，因此任给一个\(c \in \mathbb{Z}_m\)，\(ax \equiv c \pmod m\)总有恰好一个解.
这也带来了一些其他的性质：由于\(f\)是单射，有\(ax \equiv ay \pmod m \Rightarrow x \equiv y \pmod m\)，这意味着可以从同余等式的两边消去同一个与模数互质的因子.
注意到\(ax \equiv 1 \pmod m\)也仅在\(\gcd(a, m)=1\)时有解. 这个方程的解被称为\(a\)的乘法逆元，记作\(a^{-1}\)，因为它的表现就像实数乘法中的\(\frac{1}{a}\)一样.
模意义下的乘法保持了交换律和结合律——这允许我们十分方便地使用乘法逆元：要解\(ax \equiv c \pmod m\)，只需两边左乘\(a^{-1}\)（实际上由于交换律，并不需要说明是左乘），得到
再利用结合律，并考虑到\(a^{-1}a \equiv 1 \pmod m\)
类似地，将\(ax \equiv ay \pmod m\)两边乘\(a^{-1}\)，便可直接得到\(x \equiv y \pmod m\)
待续：乘法的结构（原根，欧拉定理，离散对数），\(\mathbb{Z}_n\)间笛卡尔积的结构（中国剩余定理），Dirichlet卷积、Mobius反演、杜教筛
