数据结构与算法——栈（三）有关栈的三种表达式 —— 前缀、中缀、后缀表达式

三种表达式 —— 前缀、中缀、后缀表达式

前缀表达式（波兰表达式）

前缀表达式又称为 波兰表达式，前缀表达式的 运算符位于操作数之前。

例如：( 2 + 3 ) × 4 – 5 对应的前缀表达式为：- × + 2 3 4 5

注意：前面这个表达式是一个中缀表达式，对应的是后面的这个前缀表达式。它的符号出现的顺序与中缀的顺序不一致。

前缀表达式中的符号顺序，就是他求值的规定了

前缀表达式求值过程

1. 从 右到左 扫描表达式

2. 遇到 数字 时，将数字压入堆栈

3. 遇到 运算符 时

   1）弹出栈顶的两个数（栈顶和次顶），用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈。

   ​ 计算顺序是：先 弹出来的 (运算符) 后 弹出来的

然后重复以上步骤，直到表达式的最左端，最后运算出的值则是表达式的值。

看完前缀表达式的计算逻辑，那么你要明白的是，从一个 中缀表达式 转换为 前缀表达式 时，优先级顺序是已经处理好的，因为在求值时，不进行优先级的判定

例如：(3+4)x5-6 对应的前缀表达式为：- x + 3 4 5 6，前缀表达式求值步骤如下：

1. 从右到左扫描，将 6、5、4、3 压入栈

2. 遇到 + 运算符时：

   将弹出 3 和 4（3 为栈顶元素，4 为次顶元素），计算出 3 + 4 = 7，将结果压入栈

3. 遇到 x 运算符时

   将弹出 7 和 5，计算出 7 x 5 = 35，将 35 压入栈

4. 遇到 - 运算符时

   将弹出 35 和 6，计算出 35 - 6 = 29，压入栈

5. 扫描结束，栈中留下的唯一一个数字 29 则是表达式的值

中缀表达式

中缀表达式就是 常见的运算表达式，如 (3+4)x5-6。

中缀表达式的求值是人类最熟悉的，但是对于计算机来说却不好操作：

• 需要计算运算符的优先级
• 处理括号优先级

因此，在计算结果时，往往会将 中缀表达式 转成其他表达式，一般转成后缀表达式。

后缀表达式（逆波兰表达式）

后缀表达式 又称为 逆波兰表达式，与前缀表达式类似，只是 运算符 位于 操作数之后。

比如：(3+4)x5-6 对应的后缀表达式 3 4 + 5 x 6 -

再比如：

中缀表达式	后缀表达式
a + b	a b +
a + (b-c)	a b c -
a+(b-c)*d	a b c - d * +
a+d*(b-c)	a d b c - * +
a=1+3	a 1 3 + =

后缀表达式求值过程

1. 从 左到右 扫描表达式

2. 遇到 数字 时，将数字压入堆栈

3. 遇到 运算符 时

   弹出栈顶的两个数（栈顶和次顶），用运算符对它们做相应的计算，并将结果入栈。

   计算顺序是：后 弹出来的 (运算符) 先 弹出来的

   同样的也不用考虑符号优先级的问题

然后重复以上步骤，直到表达式的最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。

比如：(3+4)x5-6 对应的后缀表达式 3 4 + 5 x 6 -

1. 从左到右扫描，将 3、4 压入堆栈

2. 扫描到 + 运算符时

   将弹出 4 和 3，计算 3 + 4 = 7，将 7 压入栈

3. 将 5 入栈

4. 扫描到 x 运算符时

   将弹出 5 和 7 ，计算 7 x 5 = 35，将 35 入栈

5. 将 6 入栈

6. 扫描到 - 运算符时

   将弹出 6 和 35，计算 35 - 6 = 29，将 29 压入栈

7. 扫描表达式结束，29 是表达式的值，由此得出最终结果