cart树剪枝

当前子树的损失函数：

$C_a(T) = C(T) + a|T|$, 其中$C(T)$为对训练数据的预测误差，$|T|$为树的叶子结点数目，反映模型的复杂度。对固定的$a$,一定存在使损失函数$C_a(T)$最小的子树，将其表示为$T_a$, 极端情况，当 $a = 0$时，整体树是最优的，当$a -> \infty  $时，根节点组成的单节点树是最优的。

对应于每一个参数\alpha，剪枝后的子树是唯一的。在算法中，给定参数\alpha，找寻损失函数最小的子树T_{\alpha}，也就是说<\alpha,T_{\alpha}>是一一对应的！并不存在一个\alpha对应于多个子树。CART剪枝算法中将用到该基本假设。因为当$a$大的时候，最优子树$T_a$偏小，当$a$小的时候，最优子树$T_a$偏大。

从最宏观的角度去考虑的话，就是利用\alpha生成T_{\alpha}。CART剪枝算法的核心思想就是说，一个复杂的决策树，不管多复杂，都能生成有限个数的子树，我们记作\{T_0,T_1,...,T_n\}，那么我们只要找寻到对应于每一个子树的\alpha，即得到对应的子树！没错，抽象一下，从【有限个数的T_\alpha】中找寻对应的【\alpha】

当\alpha =0或者充分小：
C_{\alpha}(T_t) < C_{\alpha}(t)
决策树叶结点越多，不确定性越低。

当增大\alpha时，总有那么一个点，能够使得：
C_{\alpha}(T_t) = C_{\alpha}(t)

当继续增大\alpha时，
C_{\alpha}(T_t) > C_{\alpha}(t)
所以我们只要取\alpha_1 = \frac{C(t)-C(T_t)}{\vert T_t\vert-1}时，当且仅当\alpha \ge \alpha_1时，剪枝必然发生。

剪枝已经发生，此时，对应于每一个子结点t会生成不同的\alpha我们记作\alpha(t)，由此得： C_{\alpha}(t) = C(t)+\alpha(t)
剪枝的决策树什么时候最优？对于当前参数\alpha(t)而言，能够找到这样的t，使得 \min_{t}\{C(t)+\alpha(t)\}
然而在这里为了能够求得\alpha的一个序列，直接最小化了
\min_{t}(\frac{C(t)-C(T_t)}{\vert T_t\vert-1})
找的\alpha即找到了子结点t，即完成了剪枝，即找到了最优子树T_1

有了上述的步骤，为了得到决策树T_0的所有子序列，直接递归下去，直到根节点即可。在这一过程中，不断地增加\alpha的值，产生新的区间。

 

 采用交叉验证法在子树序列中选取最优子树。

 

https://www.zhihu.com/question/22697086

 

posted @ 2017-09-01 19:50  合唱团abc  阅读(845)  评论(1)    收藏  举报