一道轻松的练习题

Description

求

f(n)=∑0≤k<nHk(k+1)(k+2)

的封闭形式。

Solution

利用裂项转化：

f(n)=∑0≤k<nHk(1k+1−1k+2)

注意到：

−Δ2(Hk)=1k+1−1k+2

则只要求不定和式

−∑HkΔ2(Hk)

利用分部求和公式：

−(HkΔHk−∑Δ(Hk+1)Δ(Hk))

化简后得到

−(Hkk+1−∑1(k+1)(k+2))

用阶乘幂表示并化简

−Hk+1k+1

根据有限微积分基本定理：

f(n)=g(n)−g(0)=k−Hkk+1

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突然感觉具体数学上的技术还是非常好用的【当然可能是这个题恰好好用】…

来源：《具体数学》