noi.openjudge 2469:电池的寿命 证明

noi.openjudge 2469:电池的寿命 贪心（？）

原未解之谜。答案是，如果最大电池超过sum/2，那么取除最大以外的所有之和；如果小于等于sum/2，那么取sum/2.

第一种情况是显然的，而对于第二种情况，我们采用数学归纳法证明。对于三个电池，这种关系成立，那么假设对k节电池的情况成立，下面考虑k+1阶的情况。我们在减少电池节数的同时保持原有的性质，一种方法就是，把最小的那节和最大的那节同时使用。使用过程中，最大节减少一份，sum减少两份，最大节仍然小于等于sum/2。

如果在最小节耗尽时，最大节仍然最大，那么阶数降低且性质保持，根据归纳假设，成立；如果最大节在最小节没耗尽的某时刻和次小节会合，那么同步使用这两个最大的电池来消耗这个小电池。同样地，如果还和其他电池重合，那么就一起“并联”成为共同最大节。一定有一个时刻，最小节可以耗尽。耗尽时，由于最大节有复数个，所以一定还满足原来的性质。

 

其实还可以考虑把所有非最大节和最大节一同使用，将最大节的一份使用时间平摊到其他各节上。