关于 P2672 推销员 的一点感想

 

https://www.luogu.com.cn/problem/P2672

大概猜到了要用递推（贪心），用数学归纳法没证出来。而其实只要把s项的系数设出来（令）就变得非常清晰。题解中有不错的证明，分情况讨论。同时，忽略了一个小细节：所有的s都不相同，无重项。

那么对n+1的情况下，我们要证明，对任意一个不（完全）包含n元最优解的方案，存在更优方案。

可以想见，n+1时式子由n+1项ai的和以及一个最大s组成。现在要把这个式子往n项的最优解方向转化，很容易想到把一个a分离出来。但这时，这个孤立a对应的s可能对最终的s有所影响。同时，这个a还不能在最优解中。因为如果在的话，和右边的n元部分不能构成一个n+1的方案。因此，我们需要找到一个a，①它的s不是max，而且②不属于n元最优解。因为这n+1元中至少存在2个不同于n元最优解的元素，而s取max的a只有一个，所以存在性很显然。然后就把这个a提出来，放缩，证毕。

洛谷题解中有一种分类讨论的方法，感觉有点问题，但思路应该大致相同，有机会再看。但是这篇题解关于左右取值的取法的讨论使得解法比较完备。可以说明，左右是等价的（虽然取左边比较”贪心“）