补码加法与乘法正确性的简明证明

前置：

　　原码：k位二进制数中，后k-1位用于记录数值大小，若为正数，第k位为0，反之为1。

　　补码：正数的补码与原码相同，负数的补码由将该数后k-1位按位取反后加1得到。

　　4位二进制中，0有0000（+0）或1000（-0）之分，但补码均为0000。以下略去与0相关的部分。

正文：

　　在计算机中，数据以补码的形式参与运算，符号位无特判，运算遵循二进制正整数运算法则。但由于位数的有限性，计算机无法表示 大于k 位上的“1”，那么实际运算过程中相当于任意时刻对2^k取正余数（mod 2^k）。

　　需要证明的命题分别是：

　　①[a]_补+[b]_补 =[a+b]_补

 ②[a]×[b]_补 =[a×b]_补 

　　　　*这里的a与b都是数本身，不是原码或补码。可用带符号十进制来理解。 a,b不为0,且在k位表示中合法。结果也需合法。

　　对取补码的过程，有

　　[a]_补 = [a]_原 （a≥0）　　　　[a]_补 =[2^k-1 + (2^k-1 -1)+a+1]_原=[2^k + a]_原 (a<0，对号入座）

　　

　　对命题①：

　　1. a>0,b>0 → a+b>0，得证

　　2. a>0,b<0 → [a]_补+[b]_补 = 2^k + (a+b) 　　若(a+b)<0 得证；若 (a+b)>0 ，mod 2^k后得a+b，得证。

　　3. a<0,b<0 →  [a]_补+[b]_补 = 2^k+1 + (a+b)  由a、b数据范围知，求余后结果为 2^k + (a+b) ，得证。

　　

　　对命题②：

　　1. a>0,b>0 → a×b>0，得证

　　2. a>0,b<0 → [a]_补 ×[b]_补 =a·（2^k+b）=a×b + a×2^k  求余后得 a×b + 2^k，得证

　　3. a<0,b<0 →  [a]_补 ×[b]_补 =（2^k+a）·（2^k+b）= a×b+(a+b+2^k)×2^k+1,求余后结果为a×b，得证