数任：约数

约数个数定理

对一个大于1的整数n，n可以分解质因数为

∏_i=1^k pi^ai=p₁^a1⋅p₂^a2⋅⋅⋅p_k^ak

则n的正约数的个数就是f(n)=∏^k_i=1ai+1=(a1+1)(a2+1)⋅⋅⋅(ak+1)

这个很好证明，因为p₁^a1 的约数有p₀¹,p₁^2,p_1³…p₁^a1，共(a1+1)个，同理p_k^ak的约数有(ak+1)个

约数定理

n的(a1+1)(a2+1)⋅⋅⋅(ak+1)个正约数的和为：

(p₁⁰+p₁¹+…+p₁^a1)(p₂⁰+p₂¹+…p₂^a2)…(p_k⁰+p_k¹+…p_k^ak)

例如4²=2⁴=16

约数个数：4+1 = 5;

约数和：1+2 + 4 + 8 +  16 + 32；

所以当k为偶数时

p⁰+p¹+…+p^k/2−1+p^k/2+p^k/2+1+…+p^k−1

即

p⁰+p¹+…+p^k/2−1+p^k/2∗(p⁰+p¹+…+p^k/2−1)

所以sum(p,k/2)+p^k/2∗sum(p,k/2)

奇数则

sum(p,k−1)+p^k−1

练习：

97. 约数之和 - AcWing题库

 

871. 约数之和 - AcWing题库

867. 分解质因数 - AcWing题库