最长公共子序列问题(LCS)

1.问题实例

给定两个长度分别为 N和 M 的字符串 A 和 B，求既是 A 的子序列又是 B 的子序列的字符串长度最长是多少。

输入格式

第一行包含两个整数 N 和 M。

第二行包含一个长度为 N 的字符串，表示字符串 A。

第三行包含一个长度为 M 的字符串，表示字符串 B。

字符串均由小写字母构成。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N,M≤1000

输入样例：

4 5
acbd
abedc

输出样例：

3

 2.算法分析

我觉得这题的状态分成两半考虑比较方便，按两个序列末尾的字符是不是相等来区分。如果两个字符相等，就可以直接转移到f[i-1][j-1]，不相等的话，两个字符一定有一个可以抛弃，可以对f[i-1】[j],f[i][j-1]两种状态取max来转移。

  如果两个字符相等，就可以直接转移到f[i-1][j-1]，不相等的话，两个字符一定有一个可以抛弃，可以对f[i-1][j],f[i][j-1]两种状态取max来转移。

 

3.c++代码实现 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N =1010;
char a[N],b[N];
int dp[N][N];
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    cin>>a+1>>b+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

4.相似算法面试题 

题目描述：给定两个单词 s1 和 s2，找到使得 s1 和 s2 相同所需的最小步数，每步可以删除任意一个字符串中的一个字符。

示例：

输入: "sea", "eat"

输出: 2

解释: 第一步将"sea"变为"ea"，第二步将"eat"变为"ea"。

提示：

给定单词的长度不超过5 。
给定单词中的字符只含有小写字母。

问题算法分析：

 代码实现：

class Solution {
public:
    int minDistance(string s1, string s2) {
        int n = s1.size(), m = s2.size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1));
        for (int i = 0; i <= n; i++) f[i][0] = 1;
        for (int j = 0; j <= m; j++) f[0][j] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
                if (s1[i - 1] == s2[j - 1]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }
        int max = f[n][m] - 1;
        return n - max + m - max;
    }
};

5.时间复杂度分析

一：纯暴力法
思路：
    找出a的所有子序列，使其全部与b进行比较，得到最长的可行解。
    
复杂度分析：
    a有n个元素，则有2的n次方个子序列，b有m个元素，对每种情况，至少要跑一遍，则最坏情况下为    m*2的n次方的时间。

 二：动态规划求解
（复杂度得到极大的优化，达到了 n*m ，已经可以用来解决大部分此类问题，而且码量较小，比较方便）

    OK，到此结束，谢谢大家观看！！！