乘法逆元

1，乘法逆元

   ax≡1(mod p)，且gcd(a,p)=1(a,p互质），则a关于p的乘法逆元为x

2，费马小定理

假如a是一个整数，p是一个质数，那么( a^p - a )是p的倍数，可以表示为 

    a^p ≡a(mod p)

如果a不是p的倍数，p是一个质数，则

    a^p-1 = 1(mod p)

3，扩展欧几里得

已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足ax+by=gcd(a,b)

 

费马小定理求逆元：

  a^p-1=1(mod p) ,则逆元x=a^p-2(快速幂求)

扩展欧几里得求逆元：

  ax≡1(mod p),则ax-py=1,把-y写成+的形式，即ax+py=1,求得逆元

 

1，扩展欧几里得求逆元(a,b互质，否则无解)

函数返回值为a,b的最大公约数，x为a的逆元

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    int ret,temp;
    if(b==0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ret = ex_gcd(b,a%b,x,y);
    temp = x;
    x = y;
    y = temp-a/b*y;
    return ret;
}

 

 2，快速幂求逆元( p是质数）

 a^p-1=1(mod p) ,则逆元x=a^p-2

long long quick_inv(long long a,int p){
     int s = p-2;
     long long ans = 1,pos = a;
     while(s){
         if(s%2) ans = ans*pos%p;
         pos = pos*pos%p;
         s/=2;
     }
     return ans%p;
}

 

3，通过递推求1~n的逆元(n较小，p是质数）

 公式推导：记 i 的逆元为 i^-1

   p = k*i+r, 令r < i,则 k = p/i , r = p%i

   k*i + r ≡ 0 (mod p)

           ↓( 两边同时乘以 r^-1,i^-1)

   k*r^-1 + i^-1 ≡ 0(mod p)

   i^-1 = -k * r ^-1 (mod p)

   i^-1 = - (p / i) * inv[p%i]

   i^-1 = (p - p/i) *inv[p%i]

   inv[1] = 1;

//求1~n的逆元，p为模数，n<=p-1
void n_inv(int n){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n ;i++){
        inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
    }
}

4，通过递推求1！~ n! 的逆元

   公式：inv[i] = inv[i+1] * (i+1)%p

void fac_inv(int n){
    fac[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;i++)
        fac[i] = fac[i-1]*i;
    inv = quick_inv(fac[n],p);
    for(int i = n-1;i>0;i--)
        inv[i] = inv[i+1]*(i+1)%p;
}