BZOJ4031 [HEOI2015]小Z的房间

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本文作者：ljh2000
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题目链接：BZOJ4031

正解：矩阵树定理+高斯消元

解题报告：

　　矩阵树定理裸题，建图之后跑高斯消元。

　　但是这道题比较特殊，取模取得是$10^9$，如果不用取模直接用$double$，取模质数的话就可以乘逆元，

　　如果不是质数可能没有逆元，那么我们考虑我们的目的是要让之后的每一项的这一位都变成$0$，正好满足辗转相除法的最终结果，所以跑一遍辗转相除法就可以避开没有逆元的尴尬问题了。

　　注意行列式交换一次会导致结果变号，所以记录一下，最后可能要取相反数。

 

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//有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
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#include <complex>
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using namespace std;
typedef long long LL;
typedef complex<double> C;
const double pi = acos(-1);
const int MAXN = 12;
const int maxn = 100;
const int mod = 1000000000;
int n,m,cnt,b[MAXN][MAXN],D[maxn][maxn],G[maxn][maxn];//D:度数矩阵  G:邻接矩阵
LL a[maxn][maxn],ans;
char ch[MAXN][MAXN];
int dx[4]={0,0,1,-1};
int dy[4]={1,-1,0,0};

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void link(int x,int y){
	G[x][y]=1;
	D[x][x]++;
}

inline void Gauss(){
	ans=1; int f=1;
	for(int i=1;i<cnt;i++) {
		for(int j=i+1;j<cnt;j++) {
			LL x=a[i][i],y=a[j][i];
			while(y) {
				LL t=x/y; x%=y; swap(x,y);
				for(int k=i;k<cnt;k++)
					a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]%mod+mod)%mod;
				for(int k=i;k<cnt;k++)
					swap(a[i][k],a[j][k]);
				f=-f;
			}
		}
		if(a[i][i]==0) { ans=0; return ; }
		ans=ans*a[i][i]%mod;
	}

	if(f==-1) ans=(mod-ans)%mod;
}

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); int nowx,nowy;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ch[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(ch[i][j]=='.')
				b[i][j]=++cnt;

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(ch[i][j]=='*') continue;
			for(int k=0;k<4;k++) {
				nowx=i+dx[k]; nowy=j+dy[k];
				if(nowx<=0 || nowy<=0 || nowx>n || nowy>m || ch[nowx][nowy]=='*') continue;
				link(b[i][j],b[nowx][nowy]);
			}
		}

	for(int i=1;i<=cnt;i++)
		for(int j=1;j<=cnt;j++)
			a[i][j]=D[i][j]-G[i][j],a[i][j]+=mod,a[i][j]%=mod;

	Gauss();

	printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}
//有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。