BZOJ4652 [Noi2016]循环之美

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本文作者：ljh2000
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Description

牛牛是一个热爱算法设计的高中生。在他设计的算法中，常常会使用带小数的数进行计算。牛牛认为，如果在 k 

进制下，一个数的小数部分是纯循环的，那么它就是美的。现在，牛牛想知道：对于已知的十进制数 n 和 m，在 

kk 进制下，有多少个数值上互不相等的纯循环小数，可以用分数 xy 表示,其中 1≤x≤n,1≤y≤m，且 x,y是整数

。一个数是纯循环的，当且仅当其可以写成以下形式：a.c1˙c2c3…cp-1cp˙其中，a 是一个整数，p≥1；对于 1

≤i≤p，ci是 kk 进制下的一位数字。例如，在十进制下，0.45454545……=0.4˙5˙是纯循环的，它可以用 5/11

、10/22 等分数表示；在十进制下，0.1666666……=0.16˙则不是纯循环的，它可以用 1/6 等分数表示。需要特

别注意的是，我们认为一个整数是纯循环的，因为它的小数部分可以表示成 0 的循环或是 k?1 的循环；而一个小

数部分非 0 的有限小数不是纯循环的。

Input

只有一行，包含三个十进制数N,M,K意义如题所述,保证 1≤n≤10^9,1≤m≤10^9,2≤k≤2000

 

Output

一行一个整数，表示满足条件的美的数的个数。

 

Sample Input

2 6 10

Sample Output

4
explanation
满足条件的数分别是：
1/1=1.0000……
1/3=0.3333……
2/1=2.0000……
2/3=0.6666……
1/1 和 2/2 虽然都是纯循环小数，但因为它们相等，因此只计数一次；同样，1/3 和 2/6 也只计数一次。

 

 

正解：莫比乌斯反演+杜教筛

解题报告：

　　这道题可以说是一道莫比乌斯神题了…

　　题目难度不小，不过也挺优美的，做得多了就很自然能想到。

　　我懒得写题解啦，LaTex写数学公式写的蛋疼...附上我校神犇LCF的题解：LCF

　　话说NOI2016还真够良心的，推一个很常规的莫比乌斯反演式子就可以get84分，暴力给足了…

　　要我在考场上，肯定是打了84分暴力走人的…

　　最后的16分感觉比84分还要难拿…

　　到了84分之后， 那个式子有两个部分显然可以做到根号，其余的部分想办法继续优化，直到复杂度可以接受。

　　最后化归到求莫比乌斯函数的前缀和上，就变成杜教筛裸题了呀。

　　如果你不会杜教筛，左转学习一发吧：杜教筛

　　（我的代码好学易懂）

　　讲一讲我做这道题的时候的优化和细节上的问题：显然g函数的计算可以记忆化，对于k的质因数的处理时，可以预处理完之后只考虑还剩几个质因数没有除即可，不必具体算出来。

　　同时，杜教筛的时候，不能用平时惯用的用分母表示分数！

　　因为分子不一定是n还有可能是m，为了避免对n、m的讨论，我们只能把这个变成hash查找...

　　均摊复杂度没有区别啦...

 

　　

//It is made by ljh2000
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 300011;
const int MOD = 10007;
const int mod = 3000007;
const int MAXM = 5000011;
int n,m,k,block,divk[2017],scnt,f[2017],prime[MAXN],cnt;
int hash[2017][MOD+12],ecnt,to[MAXM],next[MAXM];
bool vis[MAXN];
LL ans,w[MAXM],mobius[MAXN];
inline int gcd(int x,int y){ if(y==0) return x; return gcd(y,x%y); }
inline LL getf(int x){ return (LL)(x/k)*f[k]+f[x%k]; }
inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void init(){
	//block=(int)pow(n,0.6);
	block=300000;
	mobius[1]=1;
	//线性筛和预处理莫比乌斯函数
	for(int i=2;i<=block;i++) {
		if(!vis[i]) { mobius[i]=-1; prime[++cnt]=i; }
		for(int j=1;j<=cnt && i*prime[j]<=block;j++) {
			vis[i*prime[j]]=1;
			if(i%prime[j]==0) { mobius[i*prime[j]]=0; break; }
			mobius[i*prime[j]]=-mobius[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<=block;i++) mobius[i]+=mobius[i-1];

	int now=k;
	for(int i=2;i<=k;i++) {//预处理k的质因数
		if(now%i!=0) continue;
		scnt++; divk[scnt]=i;
		while(now%i==0) now/=i;
		if(now==1) break;
	}

	for(int i=1;i<=k;i++) {//预处理f
		f[i]=f[i-1];
		if(gcd(i,k)==1) f[i]++;
	}
}

int first[mod+12],ECNT;
struct edge{ int next,to; LL w; }e[MAXM];

inline LL calc(int x){//计算莫比乌斯函数前缀和
	if(x<=block) return mobius[x];
	int cc=x%mod;
	for(int i=first[cc];i;i=e[i].next) if(e[i].to==x) return e[i].w;
	LL tt=1; int nex; 
	for(int i=2;i<=x;i=nex+1) {//!!!
		nex=x/(x/i);
		tt-=(LL)calc(x/i)*(nex-i+1);
	}
	e[++ECNT].next=first[cc]; first[cc]=ECNT; e[ECNT].to=x; e[ECNT].w=tt;
	return tt;
}

inline LL getg(int x,int kcnt){//计算g(n,k)的值，可以记忆化搜索
	if(x<=1) return x; if(kcnt==0) return calc(x);
	int cc=x%MOD;
	for(int i=hash[kcnt][cc];i;i=next[i]) if(to[i]==x) return w[i];
	LL nowans=0; nowans=getg(x,kcnt-1)+getg(x/divk[kcnt],kcnt);
	next[++ecnt]=hash[kcnt][cc]; hash[kcnt][cc]=ecnt; to[ecnt]=x; w[ecnt]=nowans;
	return nowans;
}

inline void work(){
	n=getint(); m=getint(); k=getint();	init();
	int lim=min(n,m),nex;
	for(int i=1;i<=lim;i=nex+1) {
		nex=min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=(LL)getf(m/i)*(n/i)*(getg(nex,scnt)-getg(i-1,scnt));
	}
	printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}