BZOJ3930 [CQOI2015]选数

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Description

 我们知道,从区间[L,H](L和H为整数)中选取N个整数,总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助。你的任务很简单,小z会告诉你一个整数K,你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

 

Input

输入一行,包含4个空格分开的正整数,依次为N,K,L和H。

 

Output

输出一个整数,为所求方案数。

 

Sample Input

2 2 2 4

Sample Output

3

HINT

 

 样例解释


所有可能的选择方案:(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4)

其中最大公约数等于2的只有3组:(2, 2), (2, 4), (4, 2)

对于100%的数据,1≤N,K≤10^9,1≤L≤H≤10^9,H-L≤10^5
 
 
 
正解:组合数学+容斥原理
解题报告:
  考虑我们需要求区间取出$n$个数使得这$n$个数$gcd$为$k$的方案数。
  那么我可以转化为求$[l/k,h/k]$中$gcd$为$1$的方案数。
  这样的话就可以容斥了。
  首先有一个结论,如果$N$个数不全相同,那么他们的最大公约数小于等于$N$个数的极差。
  所以我们枚举的范围可以缩小到$10^5$。考虑一个数i,显然若$n$个数的$gcd$为$i$,至少要都是i的倍数。
  组合数学算一下有多少种方案,值得注意的是,我这个方法的正确性的前提就是$n$个数不全相等。
  但是$gcd=2*i$或者$3*i$的,就会被重复计算。
  所以我需要减掉$i$的倍数的方案数,才能得到$gcd$恰好=i的方案数。
  最后我们需要考虑的是所有数都相等的情况,这种情况特判一下$K$是否在$L$到$H$之间即可。
 
 
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#include <iostream>
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#include <cmath>
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#include <string>
#include <complex>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 100011;
const int MOD = 1000000007;
int n;
LL f[MAXN],len,L,H,k;

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline LL fast_pow(LL x,LL y){
	LL r=1;
	while(y>0) {
		if(y&1) r*=x,r%=MOD;
		x*=x; x%=MOD;
		y>>=1;
	}
	return r;
}

inline void work(){
	n=getint(); k=getint(); L=getint(); H=getint();
	len=(H-L); LL nowl,nowr;
	for(int i=len;i>=1;i--) {
		nowl=(L-1)/(k*i); nowr=H/(k*i);
		if(nowl<nowr) {
			f[i]=fast_pow(nowr-nowl,n);
			f[i]-=nowr-nowl;
			f[i]+=MOD;
			f[i]%=MOD;
		}
		for(int j=2;j*i<=len;j++) f[i]-=f[j*i],f[i]%=MOD;
		f[i]+=MOD; f[i]%=MOD;
	}
	if(L<=k && k<=H) f[1]++; f[1]%=MOD;
	printf("%lld",f[1]);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}

  

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posted @ 2017-02-12 11:32  ljh_2000  阅读(295)  评论(0编辑  收藏  举报