互质整数序列求和问题证明

为了证明小数部分 \(\left\{\frac{kp}{q}\right\} = \frac{kp \mod q}{q}\) 会取遍 \(1\) 到 \(q-1\) 的所有值，我们需要利用 \(p\) 和 \(q\) 互质的性质。互质意味着 \(p\) 和 \(q\) 的最大公约数是 \(1\)，即 \(\gcd(p, q) = 1\)。

考虑数列 \(kp \mod q\)，其中 \(k = 1, 2, \ldots, q-1\)。我们需要证明这个数列中的每个元素都是不同的，并且它们都属于集合 \(\{1, 2, \ldots, q-1\}\)。

不同性

假设存在两个不同的整数 \(k_1\) 和 \(k_2\)（\(1 \leq k_1 < k_2 \leq q-1\)），使得 \(k_1p \mod q = k_2p \mod q\)。这意味着 \(k_1p - k_2p\) 是 \(q\) 的倍数，即 \(p(k_1 - k_2)\) 是 \(q\) 的倍数。由于 \(p\) 和 \(q\) 互质，\(k_1 - k_2\) 必须是 \(q\) 的倍数。但是，由于 \(1 \leq k_1 < k_2 \leq q-1\)，\(k_1 - k_2\) 的绝对值小于 \(q\)，因此 \(k_1 - k_2\) 不能是 \(q\) 的倍数，除非 \(k_1 = k_2\)。这与我们的假设矛盾，因此 \(k_1p \mod q\) 和 \(k_2p \mod q\) 必须是不同的。

范围

由于 \(k\) 的取值范围是 \(1\) 到 \(q-1\)，\(kp\) 的取值范围是 \(p\) 到 \((q-1)p\)。当 \(kp\) 除以 \(q\) 时，余数 \(kp \mod q\) 必然在 \(0\) 到 \(q-1\) 之间。但是，由于 \(kp\) 不是 \(q\) 的倍数（因为 \(p\) 和 \(q\) 互质），余数 \(kp \mod q\) 不能是 \(0\)。因此，\(kp \mod q\) 的取值范围是 \(1\) 到 \(q-1\)。

结论

综上所述，数列 \(kp \mod q\)（\(k = 1, 2, \ldots, q-1\)）中的每个元素都是不同的，并且它们都属于集合 \(\{1, 2, \ldots, q-1\}\)。因此，小数部分 \(\left\{\frac{kp}{q}\right\} = \frac{kp \mod q}{q}\) 会取遍 \(1\) 到 \(q-1\) 的所有值。

---

为了证明 \([p/q] + [2p/q] + \cdots + [(q-1)p/q] = \frac{(p-1)(q-1)}{2}\)，我们首先需要理解 \([x]\) 的含义，即不超过 \(x\) 的最大整数，也称为 \(x\) 的整数部分。

考虑数列 \(\left\{\frac{kp}{q}\right\}\) 其中 \(k = 1, 2, \ldots, q-1\)。由于 \(p\) 和 \(q\) 互质，\(\frac{kp}{q}\) 不会是整数，因此 \(\left[\frac{kp}{q}\right]\) 是 \(\frac{kp}{q}\) 的整数部分。

我们可以通过观察 \(\frac{kp}{q}\) 的小数部分来理解这个数列。小数部分 \(\left\{\frac{kp}{q}\right\} = \frac{kp \mod q}{q}\)，其中 \(kp \mod q\) 表示 \(kp\) 除以 \(q\) 的余数。由于 \(p\) 和 \(q\) 互质，当 \(k\) 取遍 \(1, 2, \ldots, q-1\) 时，\(kp \mod q\) 会取遍 \(1, 2, \ldots, q-1\) 的所有值，且每个值恰好出现一次。

因此，我们可以将 \(\left[\frac{kp}{q}\right]\) 表示为 \(\frac{kp}{q} - \left\{\frac{kp}{q}\right\} = \frac{kp}{q} - \frac{kp \mod q}{q} = \frac{kp - (kp \mod q)}{q}\)。由于 \(kp - (kp \mod q)\) 是 \(q\) 的倍数，\(\left[\frac{kp}{q}\right]\) 是一个整数。

现在，我们求和 \(\left[\frac{p}{q}\right] + \left[\frac{2p}{q}\right] + \cdots + \left[\frac{(q-1)p}{q}\right]\)：

\[\sum_{k=1}^{q-1} \left[\frac{kp}{q}\right] = \sum_{k=1}^{q-1} \left(\frac{kp}{q} - \frac{kp \mod q}{q}\right) = \sum_{k=1}^{q-1} \frac{kp}{q} - \sum_{k=1}^{q-1} \frac{kp \mod q}{q}. \]

第一个和为：

\[\sum_{k=1}^{q-1} \frac{kp}{q} = \frac{p}{q} \sum_{k=1}^{q-1} k = \frac{p}{q} \cdot \frac{(q-1)q}{2} = \frac{p(q-1)}{2}. \]

第二个和为：

\[\sum_{k=1}^{q-1} \frac{kp \mod q}{q} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q-1} (kp \mod q) = \frac{1}{q} \sum_{j=1}^{q-1} j = \frac{1}{q} \cdot \frac{(q-1)q}{2} = \frac{q-1}{2}. \]

因此，我们有：

\[\sum_{k=1}^{q-1} \left[\frac{kp}{q}\right] = \frac{p(q-1)}{2} - \frac{q-1}{2} = \frac{(p-1)(q-1)}{2}. \]

所以，最终答案是：

\[\boxed{\frac{(p-1)(q-1)}{2}}. \]