染色法判定二分图

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将所有点分成两个集合，使得所有边只出现在集合之间，就是二分图。

那成为二分图的必要条件是什么呢？就是图里不能含有奇数环。为什么呢？我们来看一张图

这时有一个结点就不知道改属于哪个集合，所以二分图里不能有奇数环，接下来就看一下如何用染色法判二分图。

具体思路

首先我们当遍历到一个结点没有被染色(就是没有确定在哪一个集合)，我们就要进行进行dfs，先看一下两个参数吧：

1. \(u\) 表示结点编号
2. \(c\) 表示我们要染的颜色

然后我们先把颜色存起来，然后遍历这个点连通的点，每次用一个变量 \(j\) 存储当前点的编号，如果遍历到的点没有染过色，就递归染色，如果是 原来是 \(1\) 就变成 \(2\) 以此类推，我们设 \(color\) 为当前点的颜色，那么 \(3-color\) 就是我们要弄的新颜色。

最后还要判断这个点的颜色是否和原来的颜色是否一样，一样就不行了。

code

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10,M = 2e5 + 10;

int n,m;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int color[N];
void add(int a, int b)  // 添加一条边a->b
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];// 存储当前点的编号
        if(!color[j])
        {
            if(!dfs(j,3 - c))return false; //1变为2,2变为1
        }
        else if(color[j] == c) 
            return false;//颜色不能相同，"一山不容二虎"
    }
    return true;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while(m -- )
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b), add(b, a);
    }
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if(!color[i])
        {
            if(!dfs(i, 1))
            {
                flag = false;
                break;
            }
        }
    if(flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}