优雅的区间暴力莫队算法

莫队算法是优雅的暴力而不是什么神奇的数据结构。

只要是区间离线可以算的莫队几乎都可以达到O（n sqrt (n) ）的时间复杂度

为什么叫莫队算法呢？据说这是2010年国家集训队的莫涛在作业里提到了这个方法。

由于莫涛经常打比赛做队长，大家都叫他莫队，该算法也被称为莫队算法。

 

一个例题：给出数组n个元素a[]和Q组询问[L,R]求[L,R]中那些数字出现了T次？

Subtask1：对于99%的数据 1<=L<R<=1000 ，1<=n<=1000，1<=Q<=100

Subtask1.5：对于99.999%的数据 1<=L<R<=100000 ，1<=n<=100000,1<=Q<=10000且数据保证随机

Subtask2：对于100%的数据 1<=L<R<=100000 ，1<=n<=100000,1<=Q<=10000且数据保证一定程度上的随机

Subtask1怎么做？

暴力？怎么暴力：

• 我们用一个cnt[ ]数组记录每种元素，用桶排的思想，枚举区间，
• 每遇到一个元素对应的桶++，然后暴力一遍所有的桶，等于1的我们ans就++，
• 这样统计不同的个数，看看是不是等于L到R，
• 然后再清空桶和ans，做下一组询问。

好吧这样你就学会了99%的莫队算法。

Subtask1.5 优化暴力

显然处理询问的次序和时间复杂度有有关系，如果确定合理的次序这样也不难成为一个好方法。。

剩下1%就是怎么确定搞询问的次序，一种可行的方法是让L和R恰好单增，让前面可以用的东西尽可能多

但是这样的表现不好。特别是面对精心设计的数据，这样方法（按照L排序R排序）表现得很差。

 

/*
举个栗子，有6个询问如下：(1, 100), (2, 2), (3, 99), (4, 4), (5, 102), (6, 7)。

这个数据已经按照左端点排序了。用上述方法处理时，左端点会移动6次，右端点会移动移动98+97+95+98+95=483次。

其实我们稍微改变一下询问处理的顺序就能做得更好：(2, 2), (4, 4), (6, 7), (5, 102), (3, 99), (1, 100)。

左端点移动次数为2+2+1+2+2=9次，比原来稍多。右端点移动次数为2+3+95+3+1=104，右端点的移动次数大大降低了。
*/

首先：考虑我们有两个指针。一个叫做curL，另一个叫curR。他们对应的是所指的数的标号。这样我们可以利用这两个指针进行移动，每次只能向左或向右移动一步。移动的复杂度是O(1)。

我们现在处理了curL—curR区间内的数据，现在左右移动，比如curL到curL-1，只需要更新上一个新的3，即curL-1。

那么curL到curL+1，我们只需要去除掉当前curL的值。因为curL+1是已经维护好了的。

curR同理，但是要注意方向哦！curR到curR+1是更新，curR到cur-1是去除。

我们先计算一个区间 [curL curR] 的answer，这样的话，我们就可以用O(1)转移到 [curL-1 curR] [curL+1 curR] [curL curR+1] [curL curR-1] 上来并且求出这些区间的answer。

我们利用curL和curR，就可以移动到我们所需要求的[L R]上啦~

Subtask2： 怎么优化1.5？——分块

我们把所有的元素分成多个块（即分块）。分了块跑的会更快。再按照右端点从小到大，左端点块编号相同按右端点从小到大。

 

程序实现：

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=100005;
struct rec{
    int p,bl,l,r;
}q[MAXN];
int n,m,bo[MAXN],a[MAXN],answer;
int ans[MAXN];
bool cmp(rec a,rec b)
{
    return (a.bl<b.bl||(a.bl==b.bl&&a.r<b.r));
}
void add(int pos){

//将a[pos]加入并更新answer 

}
void del(int pos){

//将a[pos]去除并更新answer 

}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m); int block=sqrt(n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&q[i].l,&q[i].r);
        q[i].p=i; q[i].bl=(q[i].l-1)/block+1;
    }
    sort(q+1,q+1+m,cmp);
    int curL=0,curR=0; 
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int L=q[i].l,R=q[i].r;
        while (curL>L) add(--curL);
        while (curL<L) del(curL++);
        while (curR>R) del(curR--);
        while (curR<R) add(++curR);
        ans[q[i].p]=answer;
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
     printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}