浅谈线性基
几个概念或引理
概念1：数集的异或和：定义一个无符号整数集合S（注意，我们接下来讨论的集合均指由无符号整数为元素构成的集合），则S的异或和就是S中所有元素互相异或的结果.
概念2：张成：子集Ti ⊆ S且子集Ti异或和组成的集合K就是数集S的张成，记做K=span(S)就可以理解为S中取任意多个元素异或运算获得的值组成的集合就是S的张成K。
概念3：线性相关和线性无关：
线性相关： 设元素x∈S，数集去除元素x后的数集为S’，且满足x∈span(S’)即 span(S)=span(S’)，就可以理解为去除x元素后集合S对于异或运算获得值组成的集合没有变化，也可以这么说——x可由S中的其它某些元素互相异或得来。这样的元素x就称x与S线性相关。
线性无关:不满足线性相关的元素x，就称x与S线性无关。
概念4：线性基：设集合B是集合S的线性基，当且仅当满足如下条件
- B是span(S)的子集，就是说B必须是S张成中任意数组成的集合
- B中的任意元素x与S是线性无关的，也就是说，B中所有元素均可由S中的某些元素互相异或得来
引理1：基于概念4，通过推理可知线性基是对于xor运算表示S集合的最小表示方法，是缺一不可的，所以，一个集合的线性基是可以表示集合S xor 运算组成值得最小的集合。
引理2：异或运算的自反性：即a xor b=c ↔ a=b xor c; b=a xor c;
异或运算的交换律：即a xor b=c ↔b xor a=c;
异或运算的结合律：即a xor b xor c ↔ a xor (b xor c)
其他1：构造线性基时为了处理方便(减小时间复杂度)，在线性基集合中满足单调性（增）
贪心算法构造线性基
设线性基集合B是S集合的线性基；
每次插入元素x，从B集合高位到低位扫；（从大到小，使元素越异或越小）
设目前线性基到元素编号为i，B[i]有两种情况==0或非0，分别考虑：
B[i]!=0：x^=B[i]（证明一下：设原来的数为x，异或B[i]后的值为x’，有x’=x ^ B[i],由引理2可知x= x’ ^ B[i]，也就是说元素x可以从x’和B[i]两个元素构造而来，也可以称作对元素x进行xor运算的一种拆分）
B[i]==0：先把B[i]=x;对高位进行遍历B[j]^=B[i] {j>i}（目的是把高位B[j]消到最小）,
同时B[i]^=B[j] {0≤j<i} （目的是把B[i]消到最小）
操作后显然保证线性基B[i]是单调(增)。
这里给出线性基运算的几个模板:
struct base_link{ vector<ll> v; int num; bool rel; base_link(){ //初始化 memset(B,0,sizeof(B));rel=false; v.clear(); num=0; } void insert(ll x){ //插入 for (int i=62;i>=0;i--) { if (!(x >> i & 1)) continue; if (B[i]) x^=B[i]; else { for (int j=0;j<i;j++) if (x>>j & 1) x^=B[j]; for (int j=i+1;j<=62;j++) if (B[j]>>i & 1) B[j]^=x; B[i]=x; num++; return; } } rel=true; } void basis() { //变成vector for (int i = 0; i <= 62; ++i) if (B[i]) v.push_back(B[i]); } bool check(ll x) { //查找通过xor运算产生x是否可能 for (int i=62;i>=0;i--) { if (!((x>>i)&1ll)) continue; if (B[i]) x^=B[i]; else return false; if (x==0ll) break; } return true; } ll size() { //求xor产生元素种类 return ((1ll<<num)-1ll); } ll qmax() { //求子集xor最大 ll ans=0ll; for (int i=0;i<v.size();i++) if ((ans^v[i])>ans) ans^=v[i]; return ans; } ll qmin() { //求子集xor最小 if (size()==0) return -1; return v[0]; } ll qminkth(ll x) { //求子集xork小 ll ret = 0; if (rel) x--; if (x>size()) return -1; for (int i = 0; i < v.size(); ++i) if (x >> i & 1) ret ^= v[i]; return ret; } ll qmaxkth(ll x) { //求子集xork大 return qminkth(size()-x+1); } }s;
可编译代码：
# include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int MAXN=100005; ll B[MAXN]; int n; struct base_link{ vector<ll> v; int num; bool rel; base_link(){ //初始化 memset(B,0,sizeof(B));rel=false; v.clear(); num=0; } void insert(ll x){ //插入 for (int i=62;i>=0;i--) { if (!(x >> i & 1)) continue; if (B[i]) x^=B[i]; else { for (int j=0;j<i;j++) if (x>>j & 1) x^=B[j]; for (int j=i+1;j<=62;j++) if (B[j]>>i & 1) B[j]^=x; B[i]=x; num++; return; } } rel=true; } void basis() { //变成vector for (int i = 0; i <= 62; ++i) if (B[i]) v.push_back(B[i]); } bool check(ll x) { //查找通过xor运算产生x是否可能 for (int i=62;i>=0;i--) { if (!((x>>i)&1ll)) continue; if (B[i]) x^=B[i]; else return false; if (x==0ll) break; } return true; } ll size() { //求xor产生元素种类 return ((1ll<<num)-1ll); } ll qmax() { //求子集xor最大 ll ans=0ll; for (int i=0;i<v.size();i++) if ((ans^v[i])>ans) ans^=v[i]; return ans; } ll qmin() { //求子集xor最小 if (size()==0) return -1; return v[0]; } ll qminkth(ll x) { //求子集xork小 ll ret = 0; if (rel) x--; if (x>size()) return -1; for (int i = 0; i < v.size(); ++i) if (x >> i & 1) ret ^= v[i]; return ret; } ll qmaxkth(ll x) { //求子集xork大 return qminkth(size()-x+1); } }s; int main() { long long t; scanf("%d",&n); memset(B,0ll,sizeof(B)); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%lld",&t); s.insert(t); } s.basis(); printf("%lld\n",s.qmax()); return 0; }
