文艺平衡Splay树学习笔记(2)

本blog会讲一些简单的Splay的应用，包括但不局限于

1. Splay 维护数组下标，支持区间reserve操作，解决区间问题

2. Splay 的启发式合并（按元素多少合并）

3. 线段树+Splay 大常数树套树

 

一、Splay维护区间下标解决区间翻转问题

思想： 对于数组的下标是不可重复的，我们使用平衡树维护下标，利用Splay的splay操作，让区间都在一棵子树内。

然后直接输出这颗子树的维护信息，由于维护的是子树信息，那么父亲的信息一定可以由两个儿子推出。

于是就可以类似于线段树的操作了（用儿子信息维护父亲信息）。 

[LuoGu 模板] 文艺平衡树 ： 维护区间翻转，输出最终区间形态。

Solution ： 

考虑splay函数的实质，就是把节点x转到目标节点，并且让Splay树保持BST的性质。

那么显然，对于维护序列下标，其维护的值便是元素对于数组的位置。（一个节点左边儿子子树的位置都小于该节点）

对于一个区间进行翻转，那么事实上就是 把l和r下标交换，l+1和r-1下标交换...

那么如何确定这个区间呢，不妨把[l-1]转到根节点，[r+1]转到根节点的右儿子，那么对于根节点右儿子的左儿子所在子树

就可以描述为[l,r]区间。

然而，对于Splay本身来说是不能出现下标为0的情况的，否则会死循环，在(1)中已经讲的非常明确了，所以我们仍然加入一个哨兵节点，对于所有区间均+1

在代码中的实现是这样的。

需要注意的是，特殊的，对于维护位置(下标)是不会出现重复元素的，那么所有节点cnt的值都是1，就省略了。

最后这颗Splay的中序遍历就是最终区间。

# include <bits/stdc++.h>
# define inf (0x3f3f3f3f)
using namespace std;
const int N=2e5+10;
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
void write(int x) {
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    if (x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
void writeln(int x){
    write(x);putchar('\n');
}
struct Splay{
    # define ls(x) (t[x][0])
    # define rs(x) (t[x][1])
    int t[N][2],size[N],val[N],par[N];
    bool rev[N];
    int root,tot;
    Splay(){ root=0,tot=0;insert(-inf);insert(inf);}
    int check (int x) { return rs(par[x])==x;}
    void pushup(int x) { size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;}
    void rotate(int x) {
        int y=par[x],k=check(x);
        t[y][k]=t[x][k^1]; par[t[x][k^1]]=y;
        t[x][k^1]=y;
        t[par[y]][check(y)]=x; par[x]=par[y]; par[y]=x;
        pushup(y); pushup(x);
    }
    void splay(int x,int goal=0) {
        while (par[x]!=goal) {
            int y=par[x],z=par[y];
            if (z!=goal) rotate(check(x)==check(y)?y:x);
            rotate(x);
        }
        if (!goal) root=x;
    }
    void down(int x) {
        if (rev[x]) {
            swap(ls(x),rs(x));
            rev[ls(x)]^=1; rev[rs(x)]^=1;
            rev[x]=0;
        }
    }
    void insert(int x){
        int cur=root,p=0;
        while (cur && val[cur]!=x)
          p=cur,cur=t[cur][x>val[cur]];
        cur=++tot;
        if (p) t[p][x>val[p]]=cur;
        t[cur][0]=t[cur][1]=0;
        val[cur]=x; par[cur]=p;
        size[cur]=1;
        splay(cur);
    }
    int kth_id(int k) {
        int cur=root;
        while (true) {
            down(cur);
            if (t[cur][0] && k<=size[ls(cur)]) cur=ls(cur);
            else if (k>size[ls(cur)]+1) {
                k-=size[ls(cur)]+1;
                cur=rs(cur);
            } else return cur;
        }
    }
    void reserve(int l,int r) {
        int x=kth_id(l),y=kth_id(r+2);
        splay(x); splay(y,x);
        rev[ls(y)]^=1;
    }
    void print(int x) {
        down(x);
        if (ls(x)) print(ls(x));
        if (val[x]!=-inf&&val[x]!=inf) printf("%d ",val[x]);
        if (rs(x)) print(rs(x));
    }
}tr;
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) tr.insert(i);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int l=read(),r=read();
        tr.reserve(l,r);
    }
    tr.print(tr.root);
    return 0;
}

 [例题 ： 序列终结者]

用Splay维护3个操作

1 L R V : 区间[L,R]每个元素+V

2 L R  ：将区间[L,R]翻转

3 L R  ：输出区间[L,R]的最小值

Hint ： 元素初始值都为 0 

Solution： 

显然我们可以使用上述方法维护一棵平衡树，还是维护下标，我们发现splay或者rotate一下，树维护下标的性质是不会改变的。

所以仍然可以在节点维护一个加法标记，当翻转前下传即可。

# include<bits/stdc++.h>
# define inf (0x3f3f3f3f)
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int n,m,a[N];
struct Splay{
    # define ls(x) (t[x][0])
    # define rs(x) (t[x][1])
    int t[N][2],par[N],size[N],val[N],mx[N],add[N];
    int root,tot;
    bool rev[N];
    int check(int x){return rs(par[x])==x; }
    void up(int x) {
        size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+1;
        mx[x]=max(max(mx[ls(x)],mx[rs(x)]),val[x]);
    }
    void down(int x) {
        int &l=ls(x),&r=rs(x);
        if (add[x]) {
            if (l) add[l]+=add[x],val[l]+=add[x],mx[l]+=add[x];
            if (r) add[r]+=add[x],val[r]+=add[x],mx[r]+=add[x]; 
        }
        if (rev[x]) rev[l]^=1,rev[r]^=1,swap(l,r);
        rev[x]=add[x]=0;
    }
    void rotate(int x) {
        int y=par[x],k=check(x);
        down(x); down(y);
        t[y][k]=t[x][k^1]; par[t[x][k^1]]=y;
        t[x][k^1]=y; t[par[y]][check(y)]=x;
        par[x]=par[y];par[y]=x;
        up(y); up(x);
    }
    void splay(int x,int goal=0) 
    {
        while (par[x]!=goal) {
            int y=par[x],z=par[y];
            if (z!=goal) rotate((check(x)==check(y))?y:x);
            rotate(x);
        }
        if (!goal) root=x;
    }
    int build(int l,int r,int fa) {
        if(l>r) return 0;
        int x=++tot,mid=(l+r)>>1;
        par[x]=fa,val[x]=mx[x]=a[mid];
        ls(x)=build(l,mid-1,x);
        rs(x)=build(mid+1,r,x);
        up(x); return x;
    }
    int kth_id(int k) {
        int cur=root;
        while (cur) {
            down(cur);
            if (t[cur][0] && k<=size[ls(cur)]) cur=ls(cur);
            else if (k>size[ls(cur)]+1) {
                k-=size[ls(cur)]+1;
                cur=rs(cur);
            } else return cur;
        }
    }
    int kth_val(int k) {
        int p=kth_id(k);
        return val[p];
    }
    void reserve(int l,int r)
    {
        int x=kth_id(l),y=kth_id(r+2);
        splay(x); splay(y,x);
        rev[ls(y)]^=1;
    }
    int GetMax(int l,int r) {
        int x=kth_id(l),y=kth_id(r+2);
        splay(x); splay(y,x);
        return mx[ls(y)];
    }
    int Add(int l,int r,int d)
    {
        int x=kth_id(l),y=kth_id(r+2);
        splay(x); splay(y,x); val[ls(y)]+=d;
        add[ls(y)]+=d; mx[ls(y)]+=d;
    }
}tr;
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(a,0,sizeof(a));
    tr.mx[0]=a[1]=a[n+2]=-inf; 
    tr.root=tr.build(1,n+2,0);
    while (m--) {
        int op,l,r,d;
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if (op==1) scanf("%d",&d),tr.Add(l,r,d);
        else if (op==2) tr.reserve(l,r);
        else if (op==3) printf("%d\n",tr.GetMax(l,r));
    }
    return 0;
} 

 二、Splay的启发式合并（按元素多少合并）

P3224 [HNOI2012]永无乡

维护两个操作：

一开始所有元素都独立。

1 . 合并x,y

2 . 在节点x连通块内求节点排名为k的元素编号。

Sol ： 首先，对于每个元素都维护一棵平衡树，由于我们是数组模拟链表，所以在"指针池"中，只需要记录根是谁。

就可以维护一棵平衡树森林了，我们只要求在平衡树森林中总节点个数不超过"指针池"大小即可。

当合并节点x,y的时候，若以x所在节点的平衡树和y所在节点平衡树合并的时候，按节点个数合并即可，尽可能保证元素多的Splay树不改变，

然后把元素少的Splay树遍历依次，把所有拥有的元素插入到元素多的Splay树中

为了处理方便，我们令第i棵子树根的编号为father(i)

 

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+10;
map<int,int>Hash;
int t[N][2],par[N],root[N],size[N],cnt[N],val[N];
int n,m,tot,f[N];
# define ls(x) t[x][0]
# define rs(x) t[x][1]
inline int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
inline void write(int x)
{
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    if (x>9) write(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
int check(int x) { return rs(par[x])==x; }
void up(int x){
    size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+cnt[x];
}
void rotate(int x){
    int y=par[x],k=check(x);
    t[y][k]=t[x][k^1]; par[t[x][k^1]]=y;
    t[x][k^1]=y; t[par[y]][check(y)]=x;
    par[x]=par[y]; par[y]=x;
    up(y); up(x);
}
void splay(int x,int goal) {
    while (par[x]!=goal) {
        int y=par[x],z=par[y];
        if (z!=goal) {
            if (check(x)==check(y)) rotate(y);
            else rotate(x);
        }
        rotate(x);
    }
    if (goal<=n) root[goal]=x;
}
void insert(int rt,int x) {
    int cur=root[rt],p=rt;
    while (cur && val[cur]!=x)
     p=cur,cur=t[cur][x>val[cur]];
    if (cur) cnt[cur]++;
    else {
        cur=++tot;
        if (p>n) t[p][x>val[p]]=cur;
        ls(cur)=rs(cur)=0;
        par[cur]=p; val[cur]=x;
        size[cur]=cnt[cur]=1;
    }
    splay(cur,rt);
}
int kth(int rt,int k) {
    int cur=root[rt];
    if (k>size[cur]||k<0) return -1;
    while (true) {
        if (t[cur][0]&&k<=size[ls(cur)]) cur=ls(cur);
        else if (k>size[ls(cur)]+cnt[cur]) {
            k-=size[ls(cur)]+cnt[cur];
            cur=rs(cur);
        } else return val[cur];
    }
}
int father(int x)
{
    if (f[x]==x) return x;
    return f[x]=father(f[x]);
}
void dfs(int tr1,int tr2)
{
    if (ls(tr1)) dfs(ls(tr1),tr2);
    if (rs(tr1)) dfs(rs(tr1),tr2);
    insert(tr2,val[tr1]);
}
void merge(int u,int v)
{
    int fx=father(u),fy=father(v);
    if (size[root[fx]]>size[root[fy]]) swap(fx,fy);
    f[fx]=fy;
    dfs(root[fx],fy);
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=i,root[i]=i+n;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int x=read();  Hash[x]=i;
        val[i+n]=x; cnt[i+n]=size[i+n]=1; par[i+n]=i;
    }
    tot=n<<1;
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        int u=read(),v=read();
        merge(u,v);
    }
    int Q=read();
    char op[3];
    while (Q--) {
        scanf("%s",op);int x=read(),y=read();
        if (op[0]=='B') merge(x,y);
        else {
            int ans=kth(father(x),y);
            if (ans==-1) write(-1),putchar('\n');
            else write(Hash[ans]),putchar('\n');
        }
    }
    return 0;
}

 

三. 线段树+Splay 大常数树套树

【模板】二逼平衡树（树套树）

// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
# pragma GCC optimize(3)
# include <cstdio>
# define il inline
# define Rint register int
using namespace std;
const int inf=2147483647;
const int N=5e4+5;
int a[N];
int n,m,Lim;
il int max(int a,int b) {
    return (a<b)?b:a;
}
il int min(int a,int b) {
    return (a>b)?b:a;
}
il int read()
{
    int X=0,w=0; char c=0;
    while(c<'0'||c>'9') {w|=c=='-';c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') X=(X<<3)+(X<<1)+(c^48),c=getchar();
    return w?-X:X;
}
il void write(int x)
{
    if (x<0) putchar('-'),x=-x;
    if (x>9) write(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
il void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
struct SegmentTree{
    int l,r,root;
}tr[N<<2];
struct Splay{
    # define ls(x) (t[x][0])
    # define rs(x) (t[x][1])
    int t[N*50][2],cnt[N*50],val[N*50],size[N*50],par[N*50];
    int tot;
    Splay() { tot=0; }
    il int check(int x) { return rs(par[x])==x; }
    il void up(int x){
        size[x]=size[ls(x)]+size[rs(x)]+cnt[x];
    }
    il void rotate(int x){
        int y=par[x],k=check(x);
        t[y][k]=t[x][k^1]; par[t[x][k^1]]=y;
        t[x][k^1]=y; t[par[y]][check(y)]=x;
        par[x]=par[y]; par[y]=x;
        up(y); up(x);
    }
    il void splay(int node,int x,int goal) {
        while (par[x]!=goal) {
            int y=par[x],z=par[y];
            if (z!=goal) {
                if (check(x)==check(y)) rotate(y);
                else rotate(x);
            }
            rotate(x);
        }
        if (!goal) tr[node].root=x;
    }
    il void insert(int node,int x) {
        int cur=tr[node].root,p=0;
        if (!cur) {
            cur=++tot; tr[node].root=cur;
            ls(cur)=rs(cur)=0;
            par[cur]=0; val[cur]=x;
            size[cur]=cnt[cur]=1;
            return;
        }
        while (cur && val[cur]!=x)
         p=cur,cur=t[cur][x>val[cur]];
        if (cur) cnt[cur]++;
        else {
            cur=++tot;
            if (p) t[p][x>val[p]]=cur;
            ls(cur)=rs(cur)=0;
            par[cur]=p; val[cur]=x;
            size[cur]=cnt[cur]=1;
        }
        splay(node,cur,0);
    }
    il void find(int node,int x){
        int cur=tr[node].root;
        if (!cur) return;
        while (t[cur][x>val[cur]] && val[cur]!=x)
            cur=t[cur][x>val[cur]];
        splay(node,cur,0);
    }
    il int pre_id(int node,int x) {
        find(node,x); int cur=tr[node].root;
        if (val[cur]<x) return cur;
        cur=ls(cur);
        while (rs(cur)) cur=rs(cur);
        return cur;
    }
    il int pre_val(int node,int x){
        find(node,x); int cur=tr[node].root;
        if (val[cur]<x) return val[cur];
        cur=ls(cur);
        while (rs(cur)) cur=rs(cur);
        return val[cur];
    }
    il int suc_id(int node,int x) {
        find(node,x); int cur=tr[node].root;
        if (val[cur]>x) return cur;
        cur=rs(cur);
        while (ls(cur)) cur=ls(cur);
        return cur;
    }
    il int suc_val(int node,int x){
        find(node,x); int cur=tr[node].root;
        if (val[cur]>x) return val[cur];
        cur=rs(cur);
        while (ls(cur)) cur=ls(cur);
        return val[cur];
    }
    il void erase(int node,int x){
        int last=pre_id(node,x);
        int next=suc_id(node,x);
        splay(node,next,0); splay(node,last,next);
        int d=rs(last);
        if (cnt[d]>1) cnt[d]--,splay(node,d,0);
        else rs(last)=0;
        up(last);
    }
    il int rank(int node,int x) {
        find(node,x); int cur=tr[node].root;
        if (val[cur]>=x) return size[ls(cur)]-1;
        else return size[ls(cur)]+cnt[cur]-1;
    }
    # undef ls
    # undef rs
}t;
# define lson 2*x,l,mid
# define rson 2*x+1,mid+1,r
# define mid ((l+r)>>1)
int Ans;
il void SegBuild(int x,int l,int r)
{
    t.insert(x,-inf); t.insert(x,inf);
    if (l==r) return;
    SegBuild(lson); SegBuild(rson);
}
il void SegInsert(int x,int l,int r,int pos,int val)
{
    t.insert(x,val);
    if (l==r) return;
    if (pos<=mid) SegInsert(lson,pos,val);
    else SegInsert(rson,pos,val);
}
il void SegRank(int x,int l,int r,int val,int opl,int opr)
{
    if (opl<=l&&r<=opr) {
        Ans+=t.rank(x,val);
        return;
    }
    if (opl<=mid) SegRank(lson,val,opl,opr);
    if (opr>mid) SegRank(rson,val,opl,opr);
}
il void SegUpdate(int x,int l,int r,int pos,int val)
{
    t.erase(x,a[pos]); t.insert(x,val);
    if (l==r) { a[pos]=val; return; }
    if (pos<=mid) SegUpdate(lson,pos,val);
    else SegUpdate(rson,pos,val);
}
il void SegPre(int x,int l,int r,int opl,int opr,int val)
{
    if (opl<=l&&r<=opr) {
        Ans=max(Ans,t.pre_val(x,val));
        return;
    }
    if (opl<=mid) SegPre(lson,opl,opr,val);
    if (opr>mid) SegPre(rson,opl,opr,val);
}
il void SegSuc(int x,int l,int r,int opl,int opr,int val)
{
    if (opl<=l&&r<=opr) {
        Ans=min(t.suc_val(x,val),Ans);
        return;
    }
    if (opl<=mid) SegSuc(lson,opl,opr,val);
    if (opr>mid) SegSuc(rson,opl,opr,val);
}
il int SegKth(int opl,int opr,int k)
{
    int l=0,r=Lim,ans;
    while (l<=r) {
        int Mid=(l+r)>>1;
        Ans=0; SegRank(1,1,n,Mid,opl,opr);
        if (Ans+1>k) r=Mid-1;
        else l=Mid+1,ans=Mid;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    n=read();m=read();
    SegBuild(1,1,n);
    for (Rint i=1;i<=n;i++) {
        a[i]=read(); Lim=max(Lim,a[i]);
        SegInsert(1,1,n,i,a[i]);
    }
    for (Rint i=1;i<=m;i++) {
        int op=read(),l=read(),r=read(),k;
        if (op==1) k=read(),Ans=0,SegRank(1,1,n,k,l,r),writeln(Ans+1);
        if (op==2) k=read(),writeln(SegKth(l,r,k));
        if (op==3) SegUpdate(1,1,n,l,r);
        if (op==4) k=read(),Ans=-inf,SegPre(1,1,n,l,r,k),writeln(Ans);
        if (op==5) k=read(),Ans=inf,SegSuc(1,1,n,l,r,k),writeln(Ans);
    }
    return 0;
}

# include <bits/stdc++.h>
# define inf (2147483647)
using namespace std;
const int N=4e6+10;
int n,m,Lim,tot;
int a[N];
struct Treap_Node{
    int val,key,cnt,size;
    int ch[2];
}t[N];
struct Treap {
    # define ls t[x].ch[0]
    # define rs t[x].ch[1]
    void up(int &x){t[x].size=t[x].cnt+t[ls].size+t[rs].size;}
    void rotate(int &x,int d)
    {
        int son=t[x].ch[d];
        t[x].ch[d]=t[son].ch[d^1];
        t[son].ch[d^1]=x;
        up(x); up(x=son);
    }
    void insert(int &x,int val)
    {
        if (!x) { 
            x=++tot;
            t[x].size=t[x].cnt=1;
            t[x].val=val;
            t[x].key=rand();
            return;
        }
        t[x].size++;
        if (t[x].val==val) { t[x].cnt++; return;}
        int d=t[x].val<val;
        insert(t[x].ch[d],val);
        if (t[x].key>t[t[x].ch[d]].key) rotate(x,d);
    }
    void erase(int &x,int val)
    {
        if (!x) return;
        if (t[x].val==val) {
            if (t[x].cnt>1) { t[x].cnt--; t[x].size--; return;}
            int d=t[ls].key>t[rs].key;
            if (ls==0||rs==0) x=ls+rs;
            else rotate(x,d),erase(x,val);
        } else t[x].size--,erase(t[x].ch[t[x].val<val],val);
    }
    inline int rank(int &x,int val){
        if (!x) return 0;
        if (t[x].val==val) return t[ls].size;
        if (t[x].val>val) return rank(ls,val);
        return t[x].cnt+t[ls].size+rank(rs,val); 
    }
    int find(int &rt,int k)
    {
        int x=rt;
        while (1) {
            if (k<=t[ls].size) x=ls;
            else if (k>t[x].cnt+t[ls].size) k-=t[x].cnt+t[ls].size,x=rs;
            else return t[x].val;
        } 
    }
    inline int pre(int &x,int val)
    {
        if (!x) return -inf;
        if (t[x].val>=val) return pre(ls,val);
        return max(pre(rs,val),t[x].val);
    }
    int nex(int &x,int val)
    {
        if (!x) return inf;
        if (t[x].val<=val) return nex(rs,val);
        return min(nex(ls,val),t[x].val);
    }
    #undef ls
    #undef rs 
}tr;
struct Segment_Tree{
    int l,r,root;
}tree[N];
# define lson (x<<1),l,mid
# define rson (x<<1)+1,mid+1,r
# define mid ((l+r)>>1)
void SegInsert(int x,int l,int r,int pos,int val)
{
    tr.insert(tree[x].root,val);
    if (l==r) return;
    if (pos<=mid) SegInsert(lson,pos,val);
    else SegInsert(rson,pos,val);
}
int SegRank(int x,int l,int r,int ql,int qr,int val)
{
    if (ql<=l&&r<=qr) return tr.rank(tree[x].root,val);
    int ret=0;
    if (ql<=mid) ret+=SegRank(lson,ql,qr,val);
    if (qr>mid) ret+=SegRank(rson,ql,qr,val);
    return ret;
}
void SegUpdate(int x,int l,int r,int pos,int val)
{
    tr.insert(tree[x].root,val);
    tr.erase(tree[x].root,a[pos]);
    if (l==r) { a[pos]=val; return;}
    if (pos<=mid) SegUpdate(lson,pos,val);
    else SegUpdate(rson,pos,val);
}
int SegPre(int x,int l,int r,int ql,int qr,int val)
{
    if (ql<=l&&r<=qr) return tr.pre(tree[x].root,val);
    int ret=-inf;
    if (ql<=mid) ret=max(ret,SegPre(lson,ql,qr,val));
    if (qr>mid) ret=max(ret,SegPre(rson,ql,qr,val));
    return ret;
}
int SegSuc(int x,int l,int r,int ql,int qr,int val)
{
    if (ql<=l&&r<=qr) return tr.nex(tree[x].root,val);
    int ret=inf;
    if (ql<=mid) ret=min(ret,SegSuc(lson,ql,qr,val));
    if (qr>mid) ret=min(ret,SegSuc(rson,ql,qr,val));
    return ret;
}
# undef lson
# undef rson
# undef mid
int SegKth(int l,int r,int k)
{
    int L=0,R=Lim+1,Ans;
    while (L<=R) {
        int Mid=(L+R)>>1;
        if (SegRank(1,1,n,l,r,Mid)+1>k) R=Mid-1;
        else Ans=Mid,L=Mid+1;
    }
    return Ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        int t; scanf("%d",&t); Lim=max(Lim,t);
        a[i]=t;    SegInsert(1,1,n,i,t);
    }
    while (m--) {
        int op,l,r,k; scanf("%d",&op);
        if (op==1) scanf("%d%d%d",&l,&r,&k),printf("%d\n",SegRank(1,1,n,l,r,k)+1);
        if (op==2) scanf("%d%d%d",&l,&r,&k),printf("%d\n",SegKth(l,r,k));
        if (op==3) scanf("%d%d",&l,&r),SegUpdate(1,1,n,l,r);
        if (op==4) scanf("%d%d%d",&l,&r,&k),printf("%d\n",SegPre(1,1,n,l,r,k));
        if (op==5) scanf("%d%d%d",&l,&r,&k),printf("%d\n",SegSuc(1,1,n,l,r,k));
    }
    return 0;
}