完整教程：图解向量的加减

图解向量的加减

二维空间（${\mathbb{R}}^2$）里的向量

$\mathbb{R}$ 代表 全体实数的集合（Set of Real Numbers），Real 是“实数的”形容词形式，取首字母 R 作为缩写。
${\mathbb{R}}^n$ 就是 $n$维实数空间实数包括所有有理数（整数、分数）和无理数（如$\pi$、$\sqrt{2}$）。

平面中的向量$\mathbf{v}$表示为列向量$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right)$，其中$a_1$是向量在$x$轴方向的分量，$a_2$是$y$轴方向的分量。
向量的长度（也叫“模长”）用符号$\Vert \mathbf{v}\Vert$表示，计算方法基于勾股定理，公式为：
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2}$$

向量$\mathbf{v}$从原点出发，$a_1$（红色水平段）、$a_2$（黄色垂直段）与$\mathbf{v}$本身构成直角三角形——直角边是$a_1$和$a_2$，斜边就是向量$\mathbf{v}$

三维空间（${\mathbb{R}}^3$）里的向量

向量$\mathbf{v}$表示为列向量：
$$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$$
其中$a_1$、$a_2$、$a_3$向量在就是分别$x$轴、$y$轴、$z$轴方向的分量。

图里涵盖两个直角三角形
x-y平面内：在图的灰色平面（x-y平面）中，分量$a_1$、$a_2$构成直角三角形$\Delta OPQ$（直角在$P$），因此x-y平面内的向量长度满足：
$$O{Q}^2=O{P}^2+P{Q}^2=a_1^2+a_2^2$$
空间中：x-y平面的向量长度$OQ$，与z轴分量$a_3$（对应线段$QA$）构成直角三角形$\Delta OQA$（直角在$Q$），再次用勾股定理：
$$O{A}^2=O{Q}^2+Q{A}^2=a_1^2+a_2^2+a_3^2$$

向量$\mathbf{v}$的长度（模长）$\Vert \mathbf{v}\Vert$就是线段$OA$的长度
$$\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

向量加法

把向量（箭头）看作简单的路线：
箭头方向= 行进方向；
箭头长度= 行进距离。
若要走同方向、两倍距离，就是把箭头（向量${\mathbf{v}}_1$）拉伸2倍，对应向量数乘$2{\mathbf{v}}_1$。

用三角形法则：
先沿向量${\mathbf{v}}_1$从点$A$走到$B$；
再沿向量${\mathbf{v}}_2$从点$B$走到$C$；
总路线（从$A$到$C$）对应的箭头，就是${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2$（图中红色箭头）。

代数表示（列向量）

向量用$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$表示：
$x$：水平方向（右为正、左为负）；
$y$：垂直方向（上为正、下为负）。
比如例子里：${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$，${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\end{array}\right)$。

分量对应相加
几何上的路线组合，对应代数里的分量相加：
$${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1+(-2)\\ 2+(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$
（${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$）和几何上从$A$到$C$的路线完全一致。

平行四边形法则（Parallelogram Law）

向量 $\mathbf{v}$ (蓝色)：在 x 轴上延伸 3 个单位。
$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right]$$
向量 $\mathbf{w}$ (绿色)：x 轴方向 1 个单位，y 轴方向 3 个单位。
$$\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right]$$

向量加法将对应分量相加：就是就
$$\mathbf{v}+\mathbf{w}=\left[\begin{array}{c}3+1\\ 0+3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right]$$
图中红色向量（合向量）指向的坐标就是这正$(4,3)$

把底部的向量就是图中也隐含了三角形法则。看那条蓝色的虚线（在上方），它其实就$\mathbf{v}$ 平移到了 $\mathbf{w}$的头部。这意味着：先走$\mathbf{w}$的路程，接着走$\mathbf{v}$的路程，最终到达的终点是一样的。

绘图源码在文末

垂直

两个向量$\mathbf{v}$、$\mathbf{w}$可以张成一个平行四边形：
当且仅当$\mathbf{v}$和$\mathbf{w}$垂直时，这个平行四边形是矩形（矩形的邻边垂直）。

矩形的特征是“对角线长度相等”，对应到向量上：
矩形的两条对角线恰好是向量的和（$\mathbf{v}+\mathbf{w}$）与差（$\mathbf{v}-\mathbf{w}$），向量垂直等价于这两个对角线的模长相等，即：
$$\Vert \mathbf{v}+\mathbf{w}\Vert =\Vert \mathbf{v}-\mathbf{w}\Vert$$

绘图源码

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def draw_vector_addition():
# 1. 设置画布
fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4.5))
# 定义向量坐标
# v: 起点(0,0), 终点(3,0)
# w: 起点(0,0), 终点(1,3)
v = np.array([3, 0])
w = np.array([1, 3])
resultant = v + w  # 结果向量 (4, 3)
# 2. 绘制向量 (Quiver)
# 参数: x起点, y起点, x分量, y分量
# 蓝色向量 v
vector_line_width=0.008
ax.quiver(0, 0, v[0], v[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='#0072BD', width=vector_line_width, headwidth=4, headlength=5)
# 绿色向量 w
ax.quiver(0, 0, w[0], w[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='#009E73', width=vector_line_width, headwidth=4, headlength=5)
# 红色合向量 v + w
ax.quiver(0, 0, resultant[0], resultant[1], angles='xy', scale_units='xy', scale=1,
color='#A2142F', width=vector_line_width, headwidth=4, headlength=5)
# 3. 绘制平行四边形的虚线辅助线
# 上方的虚线 (平行于 v，从 w 的头部开始)
ax.plot([w[0], resultant[0]], [w[1], resultant[1]],
color='#0072BD', linestyle=':', linewidth=3)
# 右侧的虚线 (平行于 w，从 v 的头部开始)
ax.plot([v[0], resultant[0]], [v[1], resultant[1]],
color='#009E73', linestyle=':', linewidth=3)
# 4. 添加装饰性圆圈 (高光效果)
point_size = 500
ax.scatter([v[0], w[0]], [v[1], w[1]], s=point_size, color='#77AC30', alpha=0.3, zorder=1) # 绿色晕影
ax.scatter([v[0]], [v[1]], s=point_size, color='#0072BD', alpha=0.3, zorder=1) # 蓝色晕影
# 5. 添加文字标签
ax.text(v[0], v[1]-0.4, r'$\mathbf{v}$', color='#0072BD', fontsize=16, fontweight='bold')
ax.text(w[0]+0.1, w[1], r'$\mathbf{w}$', color='#009E73', fontsize=16, fontweight='bold')
ax.text(resultant[0]+0.2, resultant[1], r'$\mathbf{v} + \mathbf{w}$', color='#A2142F', fontsize=16, fontweight='bold')
ax.text(-0.3, -0.3, '$O$', fontsize=16, style='italic')
# 6. 配置坐标轴和网格
ax.set_xlim(-3.5, 7.5)
ax.set_ylim(-1, 4.5)
ax.set_aspect('equal') # 保证比例一致，看起来是正方形网格
ax.grid(True, linestyle='-', alpha=0.3)
# 移动坐标轴脊柱到中心 (0,0)
ax.spines['left'].set_position('zero')
ax.spines['bottom'].set_position('zero')
ax.spines['right'].set_color('none')
ax.spines['top'].set_color('none')
# 设置刻度
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
plt.xticks(np.arange(-3, 8, 1), fontsize=12)
plt.yticks(np.arange(-1, 4, 1), fontsize=12)
plt.title("Vector Addition: Parallelogram Law", y=1.02)
plt.show()
draw_vector_addition()