图论专题(十五)：BFS的“状态升维”——带着“破壁锤”闯迷宫 - 详解

哈喽各位，我是前端小L。

欢迎来到我们的图论专题第十五篇！我们已经习惯了在迷宫里绕着墙走。但今天，我们获得了一种超能力：我们可以消除最多 k 个障碍物。

这道题是 BFS 算法进阶的里程碑。它教导我们：当移动的代价不仅仅是“步数”，还包含“资源消耗”时，我们的每一个“状态”，都必须携带这个“资源”的信息。

力扣 1293. 网格中的最短路径

https://leetcode.cn/problems/shortest-path-in-a-grid-with-obstacles-elimination/

题目分析：

• 输入：m x n 的网格 grid，整数 k。

• 规则：

  • 移动：上下左右。

  • 障碍：1 可以被消除，但最多消除 k 个。

  • 空地：0 可以自由通过。

• 目标：从 (0, 0) 到 (m-1, n-1) 的最短路径（步数）。

为什么传统的二维 BFS 会失效？

在传统的 BFS 中，我们用 visited[r][c] 来记录是否访问过。如果访问过，就不再入队。这是基于一个假设：第一次到达某个格子，一定是状态最好的（步数最少）。

但是在这里，到达同一个格子 (r, c)，可能有两种情况：

1. 路径 A：绕了一大圈到了 (r, c)，没消除任何障碍（剩余消除次数 k）。

2. 路径 B：走了直线到了 (r, c)，但消除了一堵墙（剩余消除次数 k-1）。

路径 B 虽然步数少，但它消耗了资源；路径 A 哪怕步数多，但它保留了资源。唯一的希望！就是如果后面的路还有障碍，路径 A 可能才 简单的 visited[r][c] 无法区分这两种情况，可能会错误地把更有潜力的路径 A 给“剪枝”掉。

“Aha!”时刻：状态升维 (State Expansion)

为了区分上述情况，我们需要在状态中加入“剩余消除次数”。 我们的节点不再是 (r, c)，而是 (r, c, remain_k)。

• visited 数组的进化：

  • 方案一（三维数组）：visited[r][c][remain_k]。表示“以剩余 remain_k 次机会到达 (r, c)”是否发生过。

  • 方案二（二维数组存最优值 - 推荐）：visited[r][c] 存储到达该点时历史上最大的剩余消除次数。

    • 如果我们再次来到 (r, c)，且当前的 remain_k小于等于 之前记录的 visited[r][c]，那这次探索毫无意义（步数没少，资源还更少），直接剪枝。

    • 如果当前的 remain_k大于visited[r][c]，说明我们找到了一条“更富有”的路，值得继续探索，更新 visited[r][c] 并入队。

贪心剪枝（针对本题的特殊优化）

如果 k 非常大，大到足以消除起点到终点曼哈顿距离上的所有障碍，那我们根本不需要绕路，直接走曼哈顿距离（直线）就是最短的。

• 曼哈顿距离 dist = (m - 1) + (n - 1)。

• 如果 k >= dist，直接返回 dist。

代码达成 (BFS + 状态记录)

C++

#include 
#include 
using namespace std;
class Solution {
public:
    int shortestPath(vector>& grid, int k) {
        int m = grid.size();
        int n = grid[0].size();
        // 1. 贪心剪枝：如果 k 足够大，直接走曼哈顿距离
        if (k >= m + n - 2) {
            return m + n - 2;
        }
        // BFS 队列：存储 {row, col, remain_k}
        // 步数可以通过 BFS 的层数来统计
        queue> q;
        q.push({0, 0, k});
        // 状态记录：visited[r][c] 记录到达 (r, c) 时剩余的最大消除次数
        // 初始化为 -1
        vector> visited(m, vector(n, -1));
        visited[0][0] = k;
        int steps = 0;
        int dr[] = {0, 0, 1, -1};
        int dc[] = {1, -1, 0, 0};
        // 2. 启动 BFS
        while (!q.empty()) {
            int size = q.size();
            // 遍历当前层
            for (int i = 0; i < size; ++i) {
                vector curr = q.front();
                q.pop();
                int r = curr[0];
                int c = curr[1];
                int cur_k = curr[2];
                // 到达终点
                if (r == m - 1 && c == n - 1) {
                    return steps;
                }
                // 探索邻居
                for (int dir = 0; dir < 4; ++dir) {
                    int nr = r + dr[dir];
                    int nc = c + dc[dir];
                    if (nr >= 0 && nr < m && nc >= 0 && nc < n) {
                        // 计算到达邻居需要的消除次数
                        // 如果是空地(0)，新k = cur_k
                        // 如果是障碍(1)，新k = cur_k - 1
                        int next_k = cur_k - grid[nr][nc];
                        // 核心判断：
                        // 1. 剩余次数必须 >= 0 (没透支)
                        // 2. 这是一个“更优”的状态：比之前到达该点时剩的 k 更多
                        if (next_k >= 0 && next_k > visited[nr][nc]) {
                            visited[nr][nc] = next_k; // 更新最优状态
                            q.push({nr, nc, next_k});
                        }
                    }
                }
            }
            steps++;
        }
        return -1;
    }
};

深度复杂度分析

• V (Vertices)：这里的“节点”实际上是 (row, col, k) 的组合。

• 状态总数：m * n * k（因为 k 最多也就 m*n 级别，或者题目给定较小）。

• 时间复杂度 O(m * n * min(k, m*n))：

  • 在最坏情况下，我们可能需要访问每个 (r, c) 位置，并且带着从 0 到 k 各种不同的剩余消除次数。

  • 实际上，由于贪心剪枝和 visited 的最优值更新逻辑，实际运行会快很多。

• 空间复杂度 O(m * n * min(k, m*n))：

  • 主要是队列和 visited 数组的开销。这里 visited 是二维的 O(m*n)，但队列中可能存很多状态。

总结：BFS 的“三维”世界

今天这道题，让我们对 BFS 的理解从“平面”走向了“立体”。

• 普通 BFS：在地图上找最短路，状态是 (x, y)。

• 带状态 BFS：在地图上找最短路，但受到资源限制，状态是 (x, y, resource)。

“限制步数”，只要看到此种约束，请立刻想起：就是这种**“将资源约束纳入状态”**的思想，是解决复杂最短路困难的核心。无论是“消除障碍”、“携带钥匙”还我要给 BFS 升维了！

我们已经完成了网格图论的所有核心挑战！从下一篇开始，我们将进入图论的另一个主要领域——拓扑排序，去消除那些关于“依赖”与“顺序”的谜题。

下期见！