数据结构——树 - 教程

树（Tree）

1.1 树的基本概念

定义

树是n（n≥0）个结点的有限集合。

n = 0：空树

n > 0：满足以下条件：

• 有且仅有一个特定的根结点

• 其余结点可分为m个互不相交的有限集合T₁,T₂,...,Tₘ，每个集合又是一棵树，称为子树

术语

• 结点的度：结点拥有的子树个数

• 叶结点：度为0的结点

• 分支结点：度不为0的结点

• 树的度：树中最大的结点度数

• 结点的层次：根为第1层，孩子为第2层，以此类推

• 树的高度/深度：树中结点的最大层次

• 有序树 vs 无序树：子树有顺序为有序树，否则为无序树

• 森林：m(m≥0)棵互不相交的树的集合

树的特征

• 动态储存：O(1)的插入和删除（在已知位置）

• 查找速度：O(log n)（平衡树）

• 层次结构：天然表达层次关系

1.2 树的存储结构

1. 双亲表示法（顺序存储）

#define MAXSIZE 100
typedef char DataType;

typedef struct {
DataType data;
int parent; // 双亲位置，根为-1
} PTNode;

typedef struct {
PTNode nodes[MAXSIZE];
int n; // 结点数
} PTree;

特点：

• 查找双亲快：O(1)

• 查找孩子慢：需要遍历整个数组

2. 孩子表示法（链式+顺序）：

// 孩子结点
typedef struct CTNode {
int child; // 孩子在数组中的位置
struct CTNode *next; // 下一个孩子
} *ChildPtr;

// 表头结构
typedef struct {
DataType data;
ChildPtr firstchild; // 第一个孩子
} CTBox;

typedef struct {
CTBox nodes[MAXSIZE];
int n, root; // 结点数和根位置
} CTree;

特点：

• 查找孩子快

• 查找双亲慢

3. 孩子兄弟表示法（二叉树表示法）

typedef struct CSNode {
DataType data;
struct CSNode *firstchild; // 第一个孩子
struct CSNode *nextsibling; // 右兄弟
} CSNode, *CSTree;

特点：

• 将树转换为二叉树

• 便于操作和遍历

二、二叉树（Binary Tree）

2.1 二叉树定义

n个结点的有限集合，该集合：

• 要么为空树（n=0）

• 要么由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成

2.2 二叉树特点

• 每个结点最多有两个子树

• 左子树和右子树有顺序，不能颠倒

• 即使只有一个子树，也要区分左/右

2.3 特殊二叉树

1. 斜树

• 左斜树：所有结点都只有左子树

• 右斜树：所有结点都只有右子树

相当于线性表

2. 满二叉树

• 所有分支结点都有左右子树

• 所有叶子结点都在同一层

• 深度为k的满二叉树有 2ᵏ - 1 个结点

3. 完全二叉树

对n个结点按层序编号（1~n）

编号i的结点与同样深度的满二叉树中编号i的结点位置完全相同

特点：

• 叶子结点只能出现在最下两层

• 最下层叶子结点集中在左侧连续位置

• 如果有度为1的结点，只能有一个，且只有左孩子

2.4 二叉树性质

1. 性质1：第i层上最多有 2ⁱ⁻¹ 个结点（i≥1）

2. 性质2：深度为k的二叉树至多有 2ᵏ - 1 个结点（k≥1）

3. 性质3：对任何二叉树，若是叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则：n₀ = n₂ + 1

4. 性质4：具有n个结点的完全二叉树深度为 ⌊log₂n⌋ + 1

5. 性质5：对完全二叉树编号（1~n）：

• i=1：根结点

• i>1：双亲为 ⌊i/2⌋

• 2i≤n：左孩子为2i

• 2i+1≤n：右孩子为2i+1

2.5 二叉树存储

1. 顺序存储：

#define MAXSIZE 100
typedef char DataType;

// 完全二叉树用数组存储
DataType tree[MAXSIZE + 1];// 下标从1开始

• 适用：完全二叉树

• 不适用：斜树（空间浪费）

2. 链式存储（二叉链表）：

typedef struct BiTNode {
DataType data;
struct BiTNode *lchild, *rchild; // 左右孩子指针
} BiTNode, *BiTree;

2.6 二叉树遍历

深度优先遍历（DFS）

1. 先序遍历（根左右）：

void PreOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
printf("%c ", T->data); // 访问根
PreOrder(T->lchild); // 遍历左子树
PreOrder(T->rchild); // 遍历右子树
}

2. 中序遍历（左根右）：

void InOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
InOrder(T->lchild); // 遍历左子树
printf("%c ", T->data); // 访问根
InOrder(T->rchild); // 遍历右子树
}

3. 后序遍历（左右根）：

void PostOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;
PostOrder(T->lchild); // 遍历左子树
PostOrder(T->rchild); // 遍历右子树
printf("%c ", T->data); // 访问根
}

广度优先遍历（层序遍历）

void LevelOrder(BiTree T) {
if (T == NULL) return;

BiTree queue[MAXSIZE]; // 队列
int front = 0, rear = 0;

queue[rear++] = T; // 根结点入队

while (front < rear) {
BiTree node = queue[front++];
printf("%c ", node->data);

if (node->lchild != NULL)
queue[rear++] = node->lchild;
if (node->rchild != NULL)
queue[rear++] = node->rchild;
}
}

2.7 遍历序列确定二叉树

• 先序+中序：可唯一确定二叉树

• 后序+中序：可唯一确定二叉树

• 满二叉树）就是先序+后序：不能唯一确定（除非