深入解析：矩阵的左乘和右乘有什么区别

矩阵的左乘和右乘有什么区别

flyfish

语言表达的问题,中文资料存在冲突表达的时候，这时候去看英文就是这里更多的
读中文为什么会有歧义，因为中文里的“左乘”既可以表示动作的方向，也可以表示位置，就进入了让人绕晕的语言陷阱，先用英文来理解到底是什么，再返回中文。

Left multiplication = pre-multiplication
right multiplication = post-multiplication

Row operations (行操控)$\to$Pre-multiplication (前乘/左乘)
Column operations (列操作)$\to$Post-multiplication (后乘/右乘)

前置知识

初等矩阵 (Elementary Matrix) 就是由 单位矩阵 (Identity Matrix,$I$) 经过 只有一步的初等行变换（或列变换）变来的矩阵。

可以把它想象成单位矩阵$I$ 的变身版。

单位矩阵 $I$（以 3阶 为例）：
$$I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

初等矩阵的三种变身方式

线性代数中规定了三种初等行变换，对应地，就有三种类型的初等矩阵。只要对$I$ 做以下任意一个动作，得到的矩阵就是初等矩阵$E$。

1. 交换两行 (Interchange)

把单位矩阵的某两行互换位置。
动作：交换第 1 行和第 2 行。
得到的初等矩阵$E$：
$$E=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

2. 倍乘 (Scaling)

把单位矩阵的某一行乘以一个非零常数$k$。
动作：把第 2 行乘以 5。
得到的初等矩阵$E$：
$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 5& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

3. 倍加 (Replacement / Row Addition)

把单位矩阵的某一行乘以$k$后加到另一行上去。
动作：把第 1 行乘以 -3 加到第 3 行上。
得到的初等矩阵$E$：
$$E=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -3& 0& 1\end{array}\right)$$

倘若想对矩阵$A$做交换两行的操作，只需要找到对应的那个初等矩阵 $E$（即由 $I$经过同样的交换操作得到的$E$）。然后算出$E\cdot A$变换后的就是，结果就$A$。

所有的初等矩阵都是可逆的（Invertible）。因为每一个初等变换（交换、乘数、倍加）都是可以撤销的，所以对应的初等矩阵也可以通过逆矩阵还原回去。

交换了行，再交换一次就回去了。乘以 5，除以 5 就回去了。加了 3 倍，减去 3 倍就回去了。

举例说明

先说结论
左乘 (Left Multiplication): 矩阵 $E$ 在 $A$ 的左边 ($E\cdot A$) $\to$ 对 $A$ 进行 行变换。
右乘 (Right Multiplication): 矩阵 $E$ 在 $A$ 的右边 ($A\cdot E$) $\to$ 对 $A$ 进行 列变换。

为了让彻底明白，用同一个初等矩阵（Elementary Matrix）和同一个原始矩阵，分别做左乘和右乘，

1. 准备工作

假设有一个原始矩阵$A$要操作的对象）：就是（这
$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

现在，需要一个初等矩阵 $E$。
：就是假设要执行的操作将第二行（或第二列）乘以 10。
对应的初等矩阵$E$ 是：
$$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$$

2. 具体的例子对比

情况一：左乘 ($E\cdot A$) $\to$ 行变换

把 $E$ 放在 $A$的左边进行矩阵乘法：

$$E\cdot A=\underset{\text{操作矩阵}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 10\end{array}\right)}}\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

运算过程：
第一行：$(1\times 1+0\times 3,1\times 2+0\times 4)=(1,2)$$\to$ 没变。
第二行：$(0\times 1+10\times 3,0\times 2+10\times 4)=(30,40)$。

结果：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 30& 40\end{array}\right)$$

观察： 原始矩阵 $A$ 的 第二行被乘以了 10，而列之间没有发生交互。

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情况二：右乘 ($A\cdot E$) $\to$ 列变换

把 $E$ 放在 $A$的右边进行矩阵乘法：

$$A\cdot E=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\cdot \underset{\text{操作矩阵}}{\underbrace{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 10\end{array}\right)}}$$

运算过程：
第一列：$(1\times 1+2\times 0,3\times 1+4\times 0)=(1,3)$$\to$ 没变。
第二列：$(1\times 0+2\times 10,3\times 0+4\times 10)=(20,40)$。

结果：
$$\left(\begin{array}{cc}1& 20\\ 3& 40\end{array}\right)$$

观察： 原始矩阵 $A$ 的 第二列被乘以了 10，而行之间没有发生交互。

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这种区别取决于矩阵乘法的定义方式：

乘法方向	数学形式	几何/逻辑含义	影响范围
左乘 ($E\cdot A$)	$E$ 的行 $\times$$A$ 的列	结果矩阵的每一行，是 $A$ 中各行的线性组合。	改变 Row (行)
右乘 ($A\cdot E$)	$A$ 的行 $\times$$E$ 的列	结果矩阵的每一列，是 $A$ 中各列的线性组合。	改变 Column (列)

在中文数学表达习惯中，“A 左乘 B” 的标准含义是：
$$A\cdot B$$
(A 在左，B 在右)

所以：

1. 想表达 行变换 ($E\cdot A$)：
   可以说：“$E$ 左乘 $A$” (E left-multiplies A)
   或者更清楚点：“在 $A$ 的左边乘上 $E$”

2. 想表达 列变换 ($A\cdot E$)：
   可以说：“$E$ 右乘 $A$” (E right-multiplies A)
   或者更清楚点：“在 $A$ 的右边乘上 $E$”

习惯也仅仅是习惯，不同的人有不同的习惯。
为了交流清晰，我最推荐使用“在 A 的左边/右边乘上 E”这种表述不会引起误会。

例如下面的表述，不会产生歧义

假设有一个 3×3 矩阵 A：

$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

1. 左乘 → 做初等行变换

一个初等行变换。就是想把 A 的第1行和第2行交换，这就

对应的初等矩阵 E₁ 是对 3×3 单位矩阵把第1行和第2行交换得到的：

$$E_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
在 A 的左边乘上 E₁

$$E_{1}A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 5& 6\\ 1& 2& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right]$$

可以看到：只影响了行，第1行和第2行交换了，列没有动。

2. 右乘 → 做初等列变换

现在想对同一个矩阵 A 做同样的操作，但交换的是第1列和第2列

在 A 的右边乘上 E₁

$$A{E}_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 3\\ 5& 4& 6\\ 8& 7& 9\end{array}\right]$$

可以看到：只影响了列，第1列和第2列交换了，行没有动。

“左行右列”—— 左乘管行，右乘管列。

Left multiplication (pre-multiplication) by an elementary matrix represents the corresponding elementary row operation, while right multiplication (post-multiplication) represents the corresponding elementary column operation.