实用指南：【计算机网络】考研408核心考点|循环冗余码（CRC）详解：从多项式原理到检错纠错实战

循环冗余码

• 导读
• 一、定义
• • 1.1 多项式代数
  • 1.2 模2运算
• 二、基本思想
• • 2.1 十进制除法
  • 2.2 二进制除法
  • 2.3 CRC 码
• 三、检错与纠错
• • 3.1 检错
  • • 3.1.1 检错过程
    • 3.1.2 特点
  • 3.2 纠错
  • • 3.2.1 纠错过程
    • 3.2.2 纠错核心
    • 3.2.3 实例说明
• 四、小结
• 结语

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在上一篇内容中，我们一同探讨了数据链路层差错控制的第一道防线——检错编码。我们重点了解了奇偶校验码，它通过便捷的奇偶位设置，为我们提供了一种基础而高效的错误检测手段。

然而，正如我们所讨论的，奇偶校验码在检测能力上存在一定的局限：

• 无法定位错误位
• 对偶数个比特的错误无能为力

为了解决这些局限，并满足现代通信与存储系统对数据完整性更高标准的要求，一种更强大、更可靠的检错技巧被广泛采用，这就是我们本篇将要深入学习的循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check, CRC）。

CRC 以其强大的检错能力和高效的实现，已成为以太网、USB、Wi-Fi等众多核心通信协议和存储系统中不可或缺的差错控制机制。

它背后的核心思想，是将数据视为多项式，通过特定的模2除法运算来生成校验码，从而极大地提升了错误检测的可靠性。

下面，就让大家正式进入循环冗余码的世界，深入了解其工作原理和卓越特性

一、定义

循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Code, CRC）是一种基于多项式代数 和 模2运算的差错检测编码方法。它将资料比特序列视为多项式的系数，通过特定的多项式除法来生成校验码。

1.1 多项式代数

任何二进制数据串都可以表示为一个多项式。例如，数据 1101 可以解释为多项式 $1\ast x^3+1\ast x^2+0\ast x^1+1\ast x^0$ ，即 $x^3+x^2+1$。生成多项式$G(x)$ 也是一个二进制序列，例如 1011 表示 $x^3+x+1$

1.2 模2运算

模2运算 (Modulo-2 Arithmetic) 是CRC计算的基础规则，包括：

• 模2加法：$0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=0$（等同于 逻辑异或XOR）。

• 模2减法：规则与加法完全相同。

正由于加减法规则一致，模2除法中的每一步相减管理都简化为异或运算。

二、基本思想

循环冗余码（CRC）检错的基本思想：

• 收发双方约定一个生成多项式 $G(x)$（要求最低位必须为$1$）。$k$位位串可视为阶数为$k-1$的多项式的系数序列。
• 发送方基于待发送的资料和$G(x)$，计算出冗余码，将冗余码附加到数据后面一起发送。
• 接收方收到资料和冗余码后，利用$G(x)$来计算收到的材料和冗余码是否产生差错。

假设一个待传送$m$ 位的数据，CRC运算产生一个$r$位的冗余码，称为帧检验序列（Frame Check Sequence, FCS）。这样形成的帧将由$m+r$ 位组成。

在所要发送的数据后面增加$r$位冗余码，就算增大了传输开销，可是允许进行差错检测，这种代价往往是值得的。这个带检验码的帧刚好能被预先确定的多项式$G(x)$整除。接收方用相同的多项式去除收到的帧，若余数为$0$，则认为无差错。

2.1 十进制除法

为了更好的理解CRC的基本思想，这里我们以十进制除法来进行类比；

假设通信双方规定了一个除数 5 ，那么对于数据 827 便可通过 十进制除法获取一个余数：

$$\begin{array}{r}165\\ 5\overline{)827}\\ \underline{500}\\ 327\\ \underline{300}\\ 27\\ \underline{025}\\ 2\end{array}$$

可以看到，若通信双方的数据传输没有发生问题，那么通信双方凭借除法所得余数一定相等；当通信双方所获取的余数不相等时，那就说明传输的数据出现了问题。

CRC采用的就是该思路：

• 通信双方通过约定一个 “除数”
• 将 信息位 与 冗余位 作为被除数
  • 信息位 通过添加了 冗余位后，确保通过除法所得的余数位$0$
• 接收方在收到被除数 后，通过 除法检查其余数是否为$0$
  • 若余数为 $0$，则信息传输正确
  • 若余数不为 $0$，则信息传输错误

2.2 二进制除法

在计算机网络中，其传输的数据均为二进制数据，因此所采用的 “除法” 也是 二进制除法。

二进制除法是二进制数的一种基本算术运算，其核心规则与十进制除法相似，都涉及从被除数中不断减去除数的过程。

二进制除法分为两种，一种是用于数值计算的普通二进制除法用于差错控制的就是，另一种模2除法（其核心是异或运算）：

• 普通二进制除法重要分为三步：
  • 比较：判断当前部分被除数是否“大于等于”除数。
  • 试商：根据比较结果决定商1（够减）或商0（不够减）。
  • 减法：执行带借位的二进制减法。

简单的说，普通二进制除法 与 十进制除法 完全一致，这里我们以 1011 除以 11 为例进行说明：

$$\begin{array}{lrl}& 000000011& (商)\\ & 11\overline{)1011}& (被除数:1011,除数:11)\\ & 00000\underline{0000}& (第1步:10<11,不够除,商0)\\ & 1010& (下移一位,当前部分被除数为101)\\ & \underline{0110}& (第2步:101>11,商1,计算101-11=10)\\ & 101& (余数10,下移最后一位1,得101)\\ & \underline{0011}& (第3步:101>11,商1,计算101-11=10)\\ & 10& (最终余数:10)\end{array}$$

在 二进制算术除法 中 10 表示的是十进制中的 2 ，11 表示的是十进制中的 3 ，因此我们在理解其具体步骤时，不能将其视为十进制中的10 与 11。

• 模2除法主要分为两步：
  • 判断首位：只看当前部分被除数的最高位。
    • 若为1，则商1；
    • 若为0，则商0
  • 模2减：商1后，执行的操控是异或（XOR），即模2减法

这里我们以 1100100 除以 1011 为例来说明 模2除法具体的运算过程：

$$\begin{array}{lrl}& 000000001111& (商)\\ & 1011\overline{)1100100}& (除数：1100100，被除数：1011)\\ & 00000\underline{1011000}& (第1步：1100/1011，首位为1，商取1)\\ & 000000111100& (下移一位，当前被除数：1111)\\ & 00000\underline{0101100}& (第2步：1111/1011,首位为1，商取1)\\ & 000000010000& (下移一位，当前被除数：1000)\\ & 00000\underline{0010110}& (第3步：1000/1011，首尾为1，商取1)\\ & 000000001110& (下移一位，当前被除数：1110)\\ & 00000\underline{0001011}& (第4步：1110/1011，首位为1，商取1)\\ & 000000000101& (最终余数：101)\end{array}$$

现在大家已经区分了两种二进制除法，在 CRC 中使用的 二进制除法 是通过 模2除法达成的差错控制。接下来，我们就来具体了解一下通过模2除法 获取 CRC码的具体过程；

2.3 CRC 码

CRC码 由 信息位 和 校验位两部分组成，而校验位的具体内容则通过CRC运算 获得；

这里我们以传输数据信息：1100100 为例，来说明获取 CRC码的具体过程；

假设通信双方定义的生成多项式为$G(x)=x^3+x^2+1$，那么具体的过程可以分为三步：

• 确定 $K、R$以及生成多项式对应的二进制码

$$\begin{array}{rlrl}K& =信息位的长度& & =7\\ R& =生成多项式的最高次幂& & =3\\ G(x)& =1\ast x^3+1\ast x^2+0\ast x^1+1\ast x^0& & =1101\end{array}$$

• 移位，将信息码左移$R$位，并在低位补零

$$1100100000$$

• 相除，将通过移位获取的信息码与多项式对应的二进制码进行模2除法

$$\begin{array}{l}0000000001001001\\ 1101\overline{)1100100000}\\ 000000\underline{1101000000}\\ 00000000011\\ 000000\underline{0000000000}\\ 000000000110\\ 000000\underline{0000000000}\\ 0000000001100\\ 000000\underline{0001101000}\\ 00000000000010\\ 000000\underline{0000000000}\\ 000000000000100\\ 000000\underline{0000000000}\\ 0000000000001000\\ 000000\underline{0000001101}\\ 0000000000000101\end{array}$$

通过 模2除法得到的余数为$101$ ，因此数据 1100100 所对应的 CRC码 为 $1100100101$；

三、检错与纠错

CRC码是一个功能强大的检错编码，它不仅能够准确定位错误，还能够对错误进行纠正；

这里我们还是以上述的CRC码为例，说明其具体的检错 与 纠错 功能；

3.1 检错

3.1.1 检错过程

当通信双方在传输数据时，对于CRC码 ：

$$1100100101$$

这里我们将其记为：$C_{10}{C}_9{C}_8{C}_7{C}_6{C}_5{C}_4{C}_3{C}_2{C}_1$

接收方在收到该CRC码之后，会凭借约定的生成多项式 $G(x)$对应的二进制码进行模2除法 运算，来验算其余数是否为 0 ：

$$\begin{array}{lr}& 1001001\\ & 1101\overline{)1100100101}\\ & \underline{1101000000}\\ & 001100000\\ & \underline{0000000000}\\ & 01100000\\ & \underline{0000000000}\\ & 1100000\\ & \underline{0001101000}\\ & 001100\\ & \underline{0000000000}\\ & 01100\\ & \underline{0000000000}\\ & 1101\\ & \underline{0000001101}\\ & 000\end{array}$$

允许看到，若数据传输未发生错误，则其经过模2除法所得的最终余数为$000$；

当数据在传输的过程中，$C_8$ 发生了比特差错，即原本的 0 变成了 1 ，那么接收方接收到的 CRC码 则变成了 $1110100101$，此时当大家通过模2除法 获取余数：

$$\begin{array}{lr}& 1010100\\ & 1101\overline{)1110100101}\\ & \underline{1101000000}\\ & 011100000\\ & \underline{0000000000}\\ & 11100000\\ & \underline{0011010000}\\ & 0110000\\ & \underline{0000000000}\\ & 110100\\ & \underline{0000110100}\\ & 00000\\ & \underline{0000000000}\\ & 0001\\ & \underline{0000000000}\\ & 001\end{array}$$

此时得到的余数不再是$000$ 而变成了 $001$ 。

在 CRC码中，发生比特差错的位置与其通过模2除法获取的余数之间可能通过下表展示：

CRC码	余数	出错位
$1100100100$	$001$	$C_1$
$1100100111$	$010$	$C_2$
$1100100001$	$100$	$C_3$
$1100101101$	$101$	$C_4$
$1100110101$	$111$	$C_5$
$1100000101$	$011$	$C_6$
$1101100101$	$110$	$C_7$
$1110100101$	$001$	$C_8$
$1000100101$	$010$	$C_9$
$0100100101$	$100$	$C_{10}$

从上表中大家有发现什么吗？

不同出错位的余数中，大家不难发现，其余数总共有$7$种，若算上正确的$000$那么在该例子中的余数总共有$8$ 种。

这里我也不卖关子了，在CRC码中，其校验位的长度$\mathbf{R}$与其生成多项式$G(x)$的最高次幂相等。

• 即，在生成多项式$G(x)=1\ast x^3+1\ast x^2+0\ast x^1+1\ast x^0$中，其最高次幂为$3$ ，则表示 $R=3$ 。

而对于长度为$\mathbf{R}$的二进制序列，它能表示的二进制序列总数为$2^{\mathbf{R}}$ ，该总数由 $2^{\mathbf{R}}-1$ 个错误序列 $+$一个正确序列$00\cdots 0$ 组成。

• 当 $R=3$时，则说明总共有$2^3=8$种校验码，那对应的就有$2^3-1=7$ 种错误序列 $+$一个正确序列$000$ 。

当信息位的长度$\mathbf{K}+$校验码的长度$\mathbf{R}$ 所得到的 CRC码 的总长度 $\mathbf{K}+\mathbf{R}\le 2^{\mathbf{R}}-1$时，其错误序列会与CRC码中的错误位置一一对应；

• 当 $R=3$ 时，若 CRC码 的总长度 $K+3\le 7$ ，即 $K\le 4$时，其错误序列会与CRC码中的错误位置一一对应；

• 当 $K>4$时，其错误序列可能会对应多个错误位置；

  • 如上述例子中的错误序列$001$ 就对应 $C_1,C_8$两个错误位置；

这里需要注意，我所说的错误序列指的是，当在传输的过程中发生比特差错 时，通过 模2除法 获得的 余数。

3.1.2 特点

理论上可以证明CRC的检错能力有以下特点：

• 可检测出所有奇数个错误
• 可检测除所有双比特的错误
• 行检测出所有小于等于校验位长度的连续错误

3.2 纠错

在前面的内容中，我们介绍了CRC码的检错能力，并且当$K+R\le 2^R-1$ 时， CRC码允许准确的检测出发生比特差错通过的具体位置，当出错的位置确定后，我们是能够直接对其进行纠错；

3.2.1 纠错过程

CRC码的纠错过程许可总结为4步：

• 错误检测​：

  • 发现错误：接收方用生成多项式$G(x)$对收到的信息进行模2除法，若余数不为$0$，则断定传输有误

• 循环左移与计算​

  • 定位错误：将接收到的数据循环左移1位，同时将当前的余数补0后，继续与$G(x)$进行模2除法，得到新余数

• 错误位判定​

  • 识别并纠正：重复步骤2，直到余数与“最高位出错”的特定余数相同。此时，错误位已移至数据最高位，将其取反（纠正）

• 循环右移恢复​

  • 还原数据：将已纠正一位错误的数据循环右移之前左移的总次数，所有比特恢复原始顺序，得到正确的原始数据

3.2.2 纠错核心

CRC，经过对生成多项式就是校验中纠错能力的核心$G(x)$构建一个表示错误位置与余数对应关系的字典，从而利用模2除法获取的余数来准确判断发生错误的具体位置；

整个映射关系可以利用模2除法获取，其具体步骤如下：

• 构建错误图样

假设材料帧中只有一个比特在传输过程中出错。这个错误可以用一个错误图样多项式$\mathbf{E}(\mathbf{x})$来表示，其中只有出错的那一位系数为$1$ ，其余都是 $0$ ；

如对于 生成多项式$\mathbf{G}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^3+\mathbf{x}+1$ 而言，其 错误图样多项式$\mathbf{E}(\mathbf{x})$ 为：

$$\begin{array}{rl}E(x_0)& =x^0=0000001\\ E(x_1)& =x^1=0000010\\ E(x_2)& =x^2=0000100\\ E(x_3)& =x^3=0001000\\ E(x_4)& =x^4=0010000\\ E(x_5)& =x^5=0100000\\ E(x_6)& =x^6=1000000\end{array}$$

• 计算余数

将 错误图样多项式$\mathbf{E}(\mathbf{x})$ 除以 生成多项式$\mathbf{G}(\mathbf{x})$ ，所得到的 余数多项式$\mathbf{S}(\mathbf{x})$就是该错误位置的唯一“指纹”：

$$\begin{array}{rl}S(x_0)& =E(x_0)÷G(x)=0000001÷1011=001=1\\ S(x_1)& =E(x_1)÷G(x)=0000010÷1011=010=x\\ S(x_2)& =E(x_2)÷G(x)=0000100÷1011=100=x^2\\ S(x_3)& =E(x_3)÷G(x)=0001000÷1011=011=x+1\\ S(x_4)& =E(x_4)÷G(x)=0010000÷1011=110=x^2+x\\ S(x_5)& =E(x_5)÷G(x)=0100000÷1011=111=x^2+x+1\\ S(x_6)& =E(x_6)÷G(x)=1000000÷1011=101=x^2+1\end{array}$$

3.2.3 实例说明

接下来我们以传输信息 1101 为例来说明 CRC的纠错过程；

假设通信双方所规定的生成多项式 $G(x)=x^3+x+1$，其对应的二进制码为$1011$ ；

当前的 $K=4,R=3$ 满足 $K+R\le 2^R-1$，因此当前数据在传输过程中发生错误时，所获取的错误序列与其比特位一一对应 ；

根据 模2除法 我们获取的 CRC码 为：$1101001$

我们将此 CRC码 记为：$C_7{C}_6{C}_5{C}_4{C}_3{C}_2{C}_1$。当在传输的过程中发生错误时，接收方收到的CRC码 为：$1100001$；

• 检测错误：

  • 根据 模2除法，获取到的余数为$011$
  • 该余数不为 $0$说明数据传输发生了比特差错，接下来需要从该余数开始进行纠错

• 循环左移与计算

  • 将原数据向左移动一位，得到新内容：$1000011$
  • 将获取的余数$011$，补 $0$ 后得到新数 $0110$
  • 再将该新数与$G(x)$ 进行 模2除法，得到新余数：$110$

• 错误位判定：

  • 将步骤2获得的余数：$110$ 与 $G(x)$对应的最高位出错的特定余数：$101$ 进行比较：$110\ne 101$，此时需要继续重复步骤2；

• 循环左移与计算

  • 将原数据向左移动一位，得到新数据：$0000111$
  • 将获取的余数$110$，补 $0$ 后得到新数 $1100$
  • 再将该新数与$G(x)$ 进行 模2除法，得到新余数：$111$

• 错误位判定：

  • 将步骤2获得的余数：$111$ 与 $G(x)$对应的最高位出错的特定余数：$101$ 进行比较：$111\ne 101$，此时需要继续重复步骤2；

• 循环左移与计算

  • 将原数据向左移动一位，得到新数据：$0001110$
  • 将获取的余数$111$，补 $0$ 后得到新数 $1110$
  • 再将该新数与$G(x)$ 进行 模2除法，得到新余数：$101$

• 错误位判定：

  • 将步骤2获得的余数：$101$ 与 $G(x)$对应的最高位出错的特定余数：$101$ 进行比较：$101=101$，说明当前的最高位就是发生错误的内容；
  • 此时需要将最高位的比特进行按位取反，得到新的数据：$1001110$，达成错误纠正

• 循环右移恢复：

  • 完成数据纠正后，需要将以纠正一位错误的内容循环右移之前左移的总次数$3$次，得到正确的原始数据：$1101001$

四、小结

CRC 虽然具有 纠错功能但是其纠错的条件十分苛刻，只有满足：$K+R\le 2^R-1$ 且只发生了 单比特差错时，才能对其进行纠错；

因此在实际的使用过程中，CRC主导被用作一种高效的错误检测机制，而非纠错机制 ：

• 当检测到错误时，通过丢弃错误帧并要求发送方重传帧 来实现 差错控制；

这种“检错+重传”的策略，在实践中远比尝试让接收端自行纠错更加可靠和高效。

结语

依据今天的学习，我们共同深入探讨了数据链路层中至关重要的差错控制技术——循环冗余校验码（CRC）。现在，让我们一同回顾本次旅程的核心要点，为您梳理和巩固知识体系。

首先，我们明确了CRC的核心定义：

• 它是一种基于多项式代数和模2运算（本质是异或运算）的差错控制编码。
• 发送方和接收方预先约定一个生成多项式$\mathbf{G}(\mathbf{x})$，将待发送的材料视为一个多项式，通过特定的模2除法 运算来 生成校验码。

其核心工作流程可以概括为三步：

• 移位：发送方在数据位后补$R$ 个 $0$（$R$为生成多项式的最高次幂）
• 相除：用 生成多项式 对其进行 模2除法，得到的余数（即帧检验序列FCS）
• 拼接：将 FCS附加在原始数据后一同发送。

接收方进行相同的计算：

• 若余数为 $0$，则认为传输无误
• 若非 $0$，则断定传输出错。

CRC最显著的优势在于其强大的检错能力。理论上，一个设计良好的CRC能够：

• 检测出所有奇数个比特错误。
• 检测出所有双比特错误。
• 检测出所有长度小于或等于校验位长度的突发性错误。

正因如此，其错误漏检率极低，使其在以太网、Wi-Fi、USB、磁盘存储等众多领域成为不可或缺的可靠性保障。

虽然 CRC 在满足 $\mathbf{K}+\mathbf{R}\le 2^{\mathbf{R}}-1$ 条件下能够纠正单比特错误，但应该注意的是，在实际的网络通信协议中，“检错”而非“纠错”的角色就是CRC 主要扮演的。一旦检测到错误，标准做法是丢弃错误资料并请求发送方重传（ARQ机制），这种“检错重传”策略在实践中通常比尝试自行纠错更为高效和可靠。

总而言之，循环冗余校验码以其优雅的数学原理、强大的错误检测能力和高效的实现方式，成为了确保数据在不可靠信道上准确传输的基石技能。

希望本篇内容能帮助您不仅理解其计算步骤，更能领会其设计思想与应用场景。

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