神经网络之正交矩阵 - 教程

正交矩阵（Orthogonal Matrix）

1. 定义

一个实矩阵 $(Q\in {\mathbb{R}}^{n\times n})$ 称为正交矩阵（orthogonal matrix），
它满足：就是若

$$Q^{\top }Q=Q{Q}^{\top }=I$$

其中：

• $(Q^{\top })$ 表示$(Q)$ 的转置；
• $(I)$是单位矩阵。

换句话说，正交矩阵的转置等于它的逆矩阵：

$$Q^{-1}=Q^{\top }$$

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2. 几何意义

正交矩阵对应一种长度和角度保持不变的线性变换：

• 它可以表示 旋转（rotation） 或 反射（reflection）；
• 向量经过正交矩阵变换后，长度不变、夹角不变。

例如，对任意向量 (x)：

$$|Qx|=|x|$$

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3. 列向量性质

正交矩阵的列向量（或行向量）两两正交且为单位长度：

$$q_i^{\top }{q}_j=\{\begin{array}{llc}1,& i=j0,& i\ne j\end{array}$$

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4. 示例

二维旋转矩阵

$$Q=\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

验证：

$$Q^{\top }Q=\left[\begin{array}{ccc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 00& {\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \end{array}\right]=I$$

因此 (Q) 是正交矩阵。

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二维反射矩阵

$$R=\left[\begin{array}{ccc}1& 00& -1\end{array}\right]$$

验证：

$$R^{\top }R=I,\det (R)=-1$$

因此 ® 也是正交矩阵，对应关于 (x) 轴的反射。

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5. 要紧性质

1. 保持内积：
   $$(Qx{)}^{\top }(Qy)=x^{\top }y$$

2. 保持长度与角度：
   $$|Qx|=|x|,\cos \angle (Qx,Qy)=\cos \angle (x,y)$$

3. 行列式：
   $$\det (Q)=\pm 1$$

• $(+1)$：旋转矩阵
• $(-1)$：反射矩阵

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6. 反射矩阵与正交矩阵关系

反射矩阵可写为：

$$R=I-2n{n}^{\top }$$

单位法向量。验证：就是其中 (n)

$$R^{\top }R=I,\det (R)=-1$$

因此反射矩阵也是正交矩阵的一种。

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7. 总结

• 核心特征：转置等于逆矩阵$(Q^{-1}=Q^{\top })$；
• 几何意义：保持长度和角度；
• 行列式：+1 表示旋转，−1 表示反射；
• 列向量：单位正交；
• 常见正交矩阵：旋转矩阵、反射矩阵、置换矩阵、单位矩阵等。