基础整理01：Bode图、PM、GM、极点零点 - 教程

一、基本知识

• 传递函数：

  • 零初始条件下，线性系统响应量的拉普拉斯变换与激励量的拉普拉斯变换之比，即输出拉普拉斯与输入拉普拉斯之比；

• 根轨迹：

  • 分析对象是开环传递函数；
  • 画出是闭环传递函数的根的轨迹；

• Bode图：

  • 是开环传递函数的幅频和相频特性；
  • 开环Bode，分析稳定性、设计补偿器（增益裕度、相位裕度、带宽）；
  • 闭环Bode，验证整体性能；

• 理想系统传递函数：

  • 较大的直流增益；
  • 相位裕度在45°~75°（太大动态响应慢）；
  • 高频处有较大衰减（抑制噪声）；

• 评估动态性能 -环路带宽

  • 定义：增益曲线穿过0dB点的频率；
  • 带宽高：响应快，调节性能好，输出电压偏差小；
  • 带宽低：响应慢，负载突变时，电压跌落或过冲很大；
  • （但带宽太高，系统对开关噪声更敏感）

• 对于线性时不变系统（LTI，Linear Time Invariant），系统传递函数$G(s)$:

  • 输入：$M_i\sin (wt+{\varphi }_i)$
  • 输出：$M_o\sin (wt+{\varphi }_o)$
  • 频率响应：$M=\frac{M_o}{M_i}=|G(jw)|$
  • 幅角响应：$\varphi ={\varphi }_o-{\varphi }_i=\angle G(jw)$

二、相位裕度PM、增益裕度GM

• 开环传函：$T(s)=G(S)\ast H(s)$

• 闭环传函：
  $$\frac{U_o(s)}{U_i(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)\ast H(s)}=\frac{G(s)}{1+T(s)}$$

• 电压波动表达式：
  $$\Delta U_o(s)=\frac{G(s)}{1+T(s)}\ast \Delta U_i(s)$$

• 所以，闭环系统不稳定条件：当$1+T(s)=0$时，系统的干扰波动无限大；

• 此情况的条件有两个方面：

  • 开环传函幅值：$|T(s)|=1=0dB$；
  • 开环传函相位：$\angle T(s)=-180°$；

• 穿越频率：也叫截止频率、剪切频率：

  • 开环Bode中，是增益曲线与0dB线的交叉点，称为开环截止频率，记作$w_c$；
  • 闭环Bode中，是增益曲线与-3dB线的交叉点，称为闭环截止频率，也称为带宽频率，记作$w_b$，频率范围$(0,w_b)$，称为系统的带宽；

• 相位裕度（Phase Margin, PM）

  • 当$|T(s)|=1$，$\angle T(s)$不能为$-180°$；
  • 此时，和$-180°$的距离为裕度；
  • 通常，保持$45°<PM<75°$;

• 增益裕度（Gain Margin, GM）

  • 当$\angle T(s)=-180°$，$|T(s)|$不能为$1$；
  • 此时，和1的距离为裕度；
  • 通常，保持$GM>6dB$;

三、极点Pole、零点Zero

• 极点、零点：
  • 极点：使得传递函数的分母为0；（极点会使得传递函数数学计算结果变“极”大）
  • 零点：使得传递函数的分子为0；（零点会使得传递函数数学计算结果变“零”）
  • 传递函数$H(s)=(s+a)/(s+b)$，其中$-b$就是极点，$-a$就是零点；
• 极点和零点指的都是某个频率点，极点频率$f_p$、零点频率$f_z$；
• Bode图中，在极点位置上：
  • 增益：计算为直流增益减去3dB；
  • 相位：环境的相移已经有45°；
  • （一个极点会给环境带来90°的相移，相位在极点频率两边以$-45°/$十倍频的斜率变化为0°和$-90°$）
• Bode图中，在零点位置上：
  • 增益：计算为直流增益加上3dB；
  • 相位：系统的相移已经有45°；
  • （一个零点点会给系统带来90°的相移，相位在极点频率两边以$+45°/$十倍频的斜率变化为0°和$+90°$）
• Bode图中，极点之后：
  • 增益：随着频率增大，幅值进一步衰减，增益按照（$-20dB/$十倍频）衰减;
  • 相位：随着频率增大，相位进一步滞后，按照（$-45°/$十倍频）衰减；
• Bode图中，零点之后：
  • 增益：随着频率增大，幅值进一步增大，增益按照（$+20dB/$十倍频）增大;
  • 相位：随着频率增大，相位进一步超前，相位按照（$+45°/$十倍频）增大；

• 如果系统中有两个极点，随着频率增大，增益衰减、相位滞后至$-180°$，可能导致系统振荡；
• 所以通常并不希望存在极点，但由于元器件的寄生参数，极点是天然存在的；为避免系统输出振荡，一般人为增加零点，这就是频率补偿；
• 零点Zero的作用：抵消极点Pole的作用，矫正输出信号衰减的趋势、矫正相位滞后的趋势；
• 如下图：零点的作用就体现在1kHz频率的位置，零点抵消了前一个极点（100Hz）引起的增益衰减作用；

学习来源：知乎
学习来源：B站_DRCAN
学习来源：Hailandao