二叉树：基本术语和重要性质

 

一、树的基本术语：

树和子树的概念：树是n(n≥0)个节点的有限集合。任意一颗非空树中：（1）有且仅有一个特定的称为根（root）的节点；（2）当n＞1时，其余节点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1，T2，...，Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称其为根的子树。

树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。

结点拥有的子树数称为结点的度（Degree）。度为0的结点称为叶子（Leaf）。度不为0的结点称为分支结点。除了根节点之外，分支结点也称为内部结点。

树的度是树内各结点的度的最大值。节点的层次（Level）是从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，若某节点在第L层，则其子树的根就在第L+1层。树中节点的最大层次称为树的深度（Depth）或高度。

若果将树中节点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称为该树是有序树，否则称为无序树。

森林（Forest）是m(m≥0)颗互不相交的树的集合。

 

二、二叉树的重要性质：

清华大学《数据结构（C语言版）》一书中对二叉树的解释很明确：

二叉树（Binary Tree）是一种树形结构，特点是每个节点至多只有两颗子树（二叉树中不存在度大于2的节点），并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能够任意颠倒。

 

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i≥1）；

如：第1层最多只有一个结点，第2层最多只有2个结点，第3层最多只有4个结点。

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）；

性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点个数为n₂，则有n₀₌n₂+1。

 

一颗深度为k且有2^k-1个结点的二叉树称为满二叉树。

可以给满二叉树进行编号，约定编号从根结点起，从上而下，从左至右。由此可以引出完全二叉树的概念。

深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为完全二叉树。

 

完全二叉树在很多场合下都有应用，下面是完全二叉树的两个重要性质：

性质4：具有n个节点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1（注：[x]表示不大于x的最大整数，如[2.2]=2）。

性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树（其深度为[log₂n]+1）的结点按层序编号（从第1层到第[log₂n]+1层，每层从左到右），则对任一结点i（1≤i≤n），有：

① 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i≥1，则其双亲PARENT(i)是节点[i/2] 。

② 如果2i＞n，则结点i无左孩子（节点i为叶子节点）；否则其左孩子LCHILD(i)是节点2i 。

③ 如果2i+1＞n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1 。