多项式

多项式

拉格朗日插值

用于对于 \(n+1\) 个点，可以求出它的函数表达式 \(L(n)\)。

即

\[\sum\limits^{n+1}_{i=1}{(y_i{\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}})} \]

证明

设 \(L_i(x)\) 是一个 \(n\) 次多项式，且满足

\[\begin{cases} L_i(x_i)=y_i\\ L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j) \end{cases} \]

即 \(L_i(x)\) 仅满足 \(x_i\) ，而其他的 \(x_j\) 则必须对应为零。

那么 \(L=\sum\limits^{n+1}_{i=1}{L_i}\)。

如何构造 \(L_i\) 呢？

可以考虑先构造 \(L_i'(x)\)，使其满足

\[\begin{cases} L_i(x_i)=1\\ L_i(x_j)=0\ \ \ (i\not=j) \end{cases} \]

那么 \(L_i=y_iL_i'\)。

可以得出 \(L_i'(x)\) 可以是下面的多项式：

\[\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}} \]

那么 \(L_i(x)\) 就应该是:

\[yi\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}} \]

因为 \(L=\sum\limits^{n+1}_{i=1}{L_i}\)，所以 \(L(x)\) 应该为：

\[\sum\limits^{n+1}_{i=1}{(y_i{\frac{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x-x_j)(i\neq j)}}{\prod\limits^{n+1}_{j=1}{(x_i-x_j)(i\neq j)}}})} \]

这就是拉格朗日插值法。