线性代数

向量

定义

1. 向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 \(\vec a\) 或 \(\boldsymbol{a}\)。
   在物理中通常也叫「矢量」。

2. 向量的模：代表向量的长度，记：\(| \overrightarrow{AB} |\) 或 \(|a|\)。

3. 平行向量： 方向相反或相同的两个非零向量，又叫共线向量，记作：\(a||b\)。

向量线性运算

加减法

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 \(A\) 经 \(B\) 走到 \(C\)，那么他经过的位移为 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\) ，这其实等价于这个人直接从 \(A\) 走到 \(C\)，即 \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。

整理一下向量的加法法则：

1. 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
2. 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

乘法（数乘）

1. \(|\lambda \boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|\)；
2. 当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 同向，当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a=\boldsymbol 0\)，当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \boldsymbol a\) 与 \(\boldsymbol a\) 方向相反。

比较显然。

平面向量基本内容

平面向量基本定理

内容：如果两个向量 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 不共线，那么存在唯一实数对 \((x,y)\)，使得与 \(\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}\) 共面的任意向量 \(\boldsymbol p\) 满足 \(\mathbf p=x\boldsymbol{e_1}+y\boldsymbol{e_2}\)。

我们通常会使用 \(e1=1,e2=1\) 这样一对向量来表示平面向量所有点，即点 \((0,1),(1,0)\)，这两个点显然是不共线的，因为一个在 x 轴一个在 y 轴，同时所有的点确实可以由这两个向量线性加法得出。

其实只要任意两个线性无关的向量就可以得到所有的平面向量，我们把这组向量叫做基，任何一组基都能张成一个空间。

内积与外积

在数学，翻译成「内积」和「外积」，「点乘」和「叉乘」是根据运算符号的来的俗称，也很常见。

在物理，一般叫做「标积」和「失积」。

内积

内积的概念对任意维度的向量都适用。

定义

1. 几何定义

   在 \(n\) 维欧式空间 \(\mathbf{R}^n\) 下,已知两个向量 \(a,b\),它们的夹角为 \(\theta\)，那么：

   \[a \cdot b=|a||b|\cos \theta \]

   相当于将 \(b\) 投影到 \(a\) 上，再乘。

2. 代数定义

   在 \(n\) 维欧氏空间 \(\mathbf{R}^n\) 下，已知两个向量 \(\boldsymbol{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n), \boldsymbol{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)\)，那么：

   \[a \cdot b=\sum\limits_{i=1}^{n}a_ib_i \]

这个就是两个向量的内积，也叫点积或数量积。为了不引起混淆，点号可以省略。

如果向量有 2 次方，默认代表为模长的平方（与自身的内积）。同理，向量模长平方的平方，不可以简写为上角标 4，而是必须将上角标 2 的结果视为一个整体，以此类推。

性质

可以发现，内积得到的结果是一个标量，其特别之处在于，它是关于两个向量分别都线性的双线性运算。具体而言，内积满足：

\[\begin{aligned} (\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} &= \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} + \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \\ \boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}) &= \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \\ (\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} &= \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \\ \boldsymbol{a} \cdot (\lambda \boldsymbol{b}) &= \lambda (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) \end{aligned} \]

内积还满足交换律，即：

\[\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} \]

应用

下面介绍内积运算的一些常见应用。

判定两向量垂直：

\[\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0 \]

即互相垂直的两个向量的内积，结果为 \(0\)；向量与零向量内积，结果为 \(0\)。如果使用内积为零作为垂直的定义，则可以得出零向量与任何向量都垂直。

判定两向量共线：

\[\exists\lambda \in \mathbf{R} (\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}) \iff |\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{a}| |\boldsymbol{b}| \]

计算向量的模：

\[|\boldsymbol a| = \sqrt{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a}} \]

计算两向量的夹角：

\[\theta = \arccos \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol a| |\boldsymbol b|} \]