一阶低通滤波：从连续模型到离散实现（含工程代码）

在电机控制、传感器信号处理和嵌入式系统中，一阶低通滤波（First-Order Low-Pass Filter, LPF）几乎是最常用、也是最容易被误用的基础模块之一。

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1. 为什么需要一阶低通滤波？

在实际系统中，我们经常会遇到以下问题：

• 编码器角度差分得到的速度噪声很大
• ADC 采样存在抖动和高频干扰
• 控制环（PI / PID）对高频噪声极其敏感

低通滤波的目的只有一个：

抑制高频噪声，只保留系统真实的低频动态。

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2. 连续时间的一阶低通模型

最经典的一阶低通模型来自 RC 电路，其微分方程为：

\[\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t) \]

等价写成：

\[\frac{dy(t)}{dt} = \frac{1}{\tau}\big(x(t) - y(t)\big) \]

其中：

• \(x(t)\)：输入信号
• \(y(t)\)：滤波后输出
• \(\tau\)：时间常数（决定滤波强度）

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3. 离散化的前提条件

在嵌入式系统中，信号是周期性采样的：

• 采样周期：\(dt\)
• 只在 \(t = k \cdot dt\) 进行一次计算

同时我们做一个关键假设（工程默认）：

在一个采样周期内，输入信号保持不变（ZOH）

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4. 从连续到离散：前向欧拉法

对导数项进行离散近似：

\[\frac{dy}{dt} \approx \frac{y[k] - y[k-1]}{dt} \]

代入连续方程：

\[\frac{y[k] - y[k-1]}{dt} = \frac{1}{\tau}\big(x[k] - y[k-1]\big) \]

整理得到：

\[y[k] = y[k-1] + \frac{dt}{\tau}\big(x[k] - y[k-1]\big) \]

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5. 标准离散形式（指数平滑）

引入参数：

\[\alpha = \frac{dt}{\tau} \]

即可得到工程中最常见的一阶低通公式：

\[y[k] = y[k-1] + \alpha \big(x[k] - y[k-1]\big) \]

这个公式的直觉含义是：

每个采样周期，输出只向输入靠近一小步。

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6. 更稳定的工程写法（推荐）

严格来说，前向欧拉在 \(dt\) 较大时存在误差。利用连续系统的精确解，可以得到更稳定的参数形式。

连续系统在一个采样周期内的精确解：

\[y[k] = x[k] + (y[k-1] - x[k])e^{-dt/\tau} \]

整理后仍然是同一形式：

\[y[k] = y[k-1] + \alpha (x[k] - y[k-1]) \]

其中参数 \(\alpha\) 推荐定义为：

\[\alpha = 1 - e^{-dt/\tau} \]

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7. 离散实现中的“因果性”问题

注意公式中使用的是 \(x[k] - y[k-1]\) 而不是 \(x[k] - y[k]\)。

原因很简单：在计算时刻 \(k\)，\(y[k]\) 还不存在，系统只能使用上一次的状态 \(y[k-1]\)。这保证了滤波器是一个因果、可实时实现的系统。

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8. 代码实现（C / MCU 风格）

typedef struct {
    float y;      // 滤波输出
    float alpha;  // 滤波系数
} LPF1_t;

/**
 * @brief 一阶低通滤波更新函数
 * @param f 滤波器结构体指针
 * @param x 当前输入值
 */
void LPF1_Update(LPF1_t *f, float x)
{
    // y(k) = y(k-1) + alpha * (x(k) - y(k-1))
    f->y += f->alpha * (x - f->y);
}