扩展欧几里得

太容易忘记了写一份放博客备份吧

推导之前

根据裴蜀定理，对于任意整数\(a,b\)以及它们的最大公约数\(d\)，一定存在两个整数\(x,y\)使得\(ax+by=d\)成立

开始推导吧

推导过程中的除法运算结果均进行向零取整

\[\text{设整数}x',y'\text{满足}bx'+(a\bmod b)y'=gcd(b,a\bmod b)=gcd(a,b) \]

\[\text{则有}bx'+(a-a/b*b)y'=gcd(a,b) \]

\[\Leftrightarrow ay'+b(x'-a/b*y')=gcd(a,b) \]

于是在辗转相除法中，对于当前层递归到的一组\(a\)和\(b\)，方程\(ax+by=gcd(a,b)\)的解为

\[x=y' \]

\[y=x'-a/b*y' \]

递归求解即可

Code

void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	int xx,yy;
	ex_gcd(b,a%b,xx,yy);//xx,yy即上文提到的x'，y'
	x=yy;
	y=xx-a/b*yy;
}

---

Part II

在和神仙@GoldenPotato以及@Maxwei_wzj讨论之后引出了一个问题：
对于同余方程\(ax+by=(a,b)\)它的一组解为\(x_0,y_0\)，那么所有方程的通解为$$x=x_0+k*\frac{b}{gcd(a,b)}$$

\[y=y_0-k*\frac{a}{gcd(a,b)} \]

其中\(k\in \mathbb{Z}\)
当求出一个解\(x_0\)之后，可以通过以下代码获得最小的\(x\)（令\(d=gcd(a,b)\)）

x=x%(b/d);

为什么这样是对的？

以下是@Maxwei_wzj给出的证明过程（转述，非原话）%%%%%%%%

令\(d=gcd(a,b)\)
将方程的通解代入方程，等价于方程$$a(x_0+p)+b(y_0-q)=d$$

\[\Rightarrow ax_0+ap+by_0-bq=d \]

其中\(p,q\in \mathbb{N}^*\)

\[\because ax_0+by_0=d \]

\[\therefore ap=bq \]

\[\therefore p=\frac{bq}{a} \]

令\(a'=\frac{a}{d},b'=\frac{b}{d}\)，则有$$p=\frac{b'q}{a'}$$

\[\because gcd(a',b')=1 \]

\[\text{要使}p\in \mathbb{N}^*,\text{则}q=k*a',k\in \mathbb{N}^* \]

\[\text{即}p=k*b'=k*\frac{b}{gcd(a,b)} \]

得证，\(y\)同理

感觉对同余方程的理解又深入了几分呢