「NNEZ Monthly Round 6」LIS

「NNEZ Monthly Round 6」LIS

20分

首先考虑\(A_i>0\)的情况

显然有dp方程：

\[f_i=max_{1\le j<i}\{f_j+1\}(A_j<A_i) \]

边界条件\(f[i]=1\)

时间复杂度\(O(n^2)\)，期望得分20分

50分

50分(100分)的数据要求我们在\(O(n\log n)\)的时间复杂度内解决这个问题

定义序列\(D_i\)表示对于所有满足\(f_k=i\)的\(k\)中，\(A_k\)最小是多少

\[D_i=min_{f_k=i}\{A_k\} \]

显然序列\(D\)是单调递增的（想一想，为什么）

我们来考虑如何维护这个序列\(D\)

假设当前序列\(D\)的长度为\(len\)，当前扫描到的元素为\(A_i，\)分两种情况：

1. 如果\(A_i>D_{len}\)，那么令\(D_{len+1}=A_i\)，同时令\(len=len+1\)，意义为将\(A_i\)接到以\(D_{len}\)为结尾的上升子序列后面
2. 如果\(A_i\le D_{len}\)，那么在序列\(D\)中二分找到第一个\(p\)满足\(D_p\ge A_i\)，令\(D_p=A_i\)，意义为把以\(D_p\)为结尾的上升子序列的末尾元素（即\(D_p\)）换成\(A_i\)

tips:
lowerbound(D+1,D+len+1,x)-D
可以得到\(D\)数组中第一个大于等于\(x\)的位置是第几个

我们来思考一下第二种情况的意义，对于一个上升子序列，我们自然希望在它后面能接更多的元素，那么这个子序列的末尾元素当然是越小越好

扫描完整个序列\(A\)后，LIS的长度即为序列\(D\)的长度\(len\)

时间复杂度\(O(n\log n)\)，至此期望得分50分

100分

考虑\(A_i\)可能会等于0的情况

首先，对于一个末尾为\(X\)的上升子序列，如果我们既可以在它后面接一个\(0\)，也可以接一个\(A_i\)(即\(A_i>X\))，那么显然接\(0\)一定不会使答案更劣

所以一个包含\(A_i\)中所有\(0\)的上升子序列，一定不会比最长上升子序列短

那么我们可以先把所有的\(0\)塞进答案子序列里，然后再塞非零的元素

对于剩下的非零元素，我们先考虑其中两个元素\(A_i,A_j(i<j)\)，设它们之间\(0\)的个数为\(k\)

由于我们必须要保证上升子序列中的元素严格递增，并且要保证已经塞进上升子序列中的\(0\)能够指派一个值，所以如果\(A_i\)和\(A_j\)能够被同时塞进答案子序列里，必须要满足：

\[A_i+k<A_j \]

我们定义一个函数\(g(i)\)表示位置\(i\)前面\(0\)的个数，定义\(B_i=A_i-g(i)\)

那么我们可以塞进答案子序列里的非零元素个数即为序列\(B\)的LIS长度

证明:
对于任意\(i,j\)满足\(i<j\)

\[B_i<B_j\\ \Leftrightarrow A_i-g(i)<A_j-g(j)\\ \Leftrightarrow A_i+[g(j)-g(i)]<A_j\\ \Leftrightarrow A_i+k<A_j \]

最终的答案是序列\(B\)的LIS长度加上序列\(A\)中\(0\)的个数

二分求LIS，期望得分100分

需要注意的是，由于我们已经提前考虑了\(0\)，所以在计算序列\(B\)的LIS长度时，需要跳过\(A_i=0\)的位置

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=100005;

int n;
int a[maxn];
int d[maxn],len;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int zero=0;
    d[0]=-0x7f7f7f7f; 
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        if(a[i]==0)
            ++zero;
        else
        {
            a[i]-=zero;
            if(a[i]>d[len])
                d[++len]=a[i];
            else
            {
                int p=lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
                d[p]=a[i];
            }
        }
    }
    printf("%d",len+zero);
}

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谢罪

之前月赛讲题的时候，条理不甚清晰，错漏诸多，所以特地重新写了一篇自认为相对更加详细严谨的题解

非常抱歉，我什么都会做的（土下座）