斯特林数 笔记

斯特林数 笔记

这篇文主要记录一些lizbaka在学习斯特林数时遇到的一些比较关键的点
此文条理较为混乱,不甚完善,主要以作为笔记为目的,仅供参考

第二类斯特林数

第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)个非空无标号集合的方案数

其递推方程为:

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\times\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix} \]

\[\begin{Bmatrix}0\\0\end{Bmatrix}=1 \]

其意义为,最后一个元素,单独组成一个集合,或加入已有的任意一个集合

第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)又称为“\(n\)子集\(k\)


第二类斯特林数的展开式为:

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\frac{1}{k!}\sum_{i=0}^k(-1)^i\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(k-i)^n \]

考虑盒子有标号,且允许有空盒的情况

那么有\(i\)个盒子为空的方案数即为\(\begin{pmatrix}k\\i\end{pmatrix}(k-i)^n\)

容斥一下,再除以一个阶乘变成无标号的情况即可

进一步整理,式子化为

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^k\frac{(-1)^i}{i!}\times \frac{(k-i)^n}{(k-i)!} \]

这是一个卷积形式的式子,可以利用FFT/NTT求得


第一类斯特林数

第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)表示\(n\)个元素划分成\(k\)圆排列的方案数

其递推方程为:

\[\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\times\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix} \]

\[\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}=1 \]

其意义为,最后一个元素,单独组成一个圆排列,或者插入到已有的任意一个元素的左侧

第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)又称为“\(n\)轮换\(k\)


每一个排列都与一个轮换的集合等价(《具体数学》\(P217-P218\))

于是有:

\[\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}=n!(n\ge0) \]

斯特林数与常幂/下降幂/上升幂

记下降幂:

\[x^{\underline n}=x\times(x-1)\times(x-2)\cdots\times(x-n+1) \]

记上升幂:

\[x^{\overline n}=x\times(x+1)\times(x+2)\cdots\times(x+n+1) \]

这常常出现在组合计数中


幂之间的转换公式(《具体数学》\(P219-P220\))

\[x^{\overline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}x^k \]

\[x^{\underline n}=\sum_{k=0}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(-1)^{n-k}x^k \]

\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}(-1)^{n-k}x^{\overline k} \]

事实上,我们可以建立常幂与组合数之间的关系:

\[x^n=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}x^{\underline k}=\sum_{k=0}^n\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\times k!\times \begin{pmatrix}x\\k\end{pmatrix} \]

从而转化到组合数进行求解

posted @ 2019-03-26 20:25  lizbaka  阅读(272)  评论(0编辑  收藏  举报