最小生成树自用笔记(Kruskal算法+prim算法)

关于最小生成树，网上有很多的资料，就不写这么多了~非常推荐  啊哈算法的讲解，这本书对最短路，最小生成树，都讲得非常棒~

一：定义：

一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

简单来讲，就是搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点，且其所有边的权值之和为最小。

二：算法实现：

1：Kruskal算法

加边法，先依据边权进行排序。

从小到大遍历，如果两个点不在同一个集合内，则加入生成树。而判断集合使用了并查集。

n个顶点的图连通，至少需要n-1条边。所以可以依据此，来判断最小生成树是否存在。

板子：

Acwing 859. Kruskal算法求最小生成树

 

 

时间复杂度：MlogM

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2e5+10;
const int inf=99999999;
int n,m;
int pr[maxn];
struct node
{
    int a,b,c;
}st[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.c<b.c;
}
int find(int x)
{
    if(x!=pr[x])
    return pr[x]=find(pr[x]);
    return x;
}
bool check(int a,int b)
{
    int f1=find(a),f2=find(b);
    if(f1!=f2)
    {
        pr[f1]=f2;
        return true;
    }
    return false;
}
int main()
{    
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        pr[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        cin>>st[i].a>>st[i].b>>st[i].c;        
    }
    sort(st+1,st+1+m,cmp);//按权值从小到大
    int minn=inf;
    int sum=0;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(check(st[i].a,st[i].b))//如果不在同一个集合，就连一起
        {
            sum+=st[i].c;
            cnt++;
        }
        if(cnt==n-1)
            break;
    }
    if(cnt<n-1)
        cout<<"impossible"<<endl;
    else
        cout<<sum<<endl;
}

2：Prim算法

随便选一个点开始来生成最小生成树，因为n个顶点都要得到。

与dijkstra类似，但是dis[]数组并不是表示1号点到各个点的最短距离，而是未构成树的点，离树的最短距离。即如果dis[k]>e[j][k]，就更新dis[k]

板子：

Acwing 858. Prim算法求最小生成树

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
const int maxn=5e2+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int e[maxn][maxn],vis[maxn],dis[maxn];
int n,m;
int prim()
{
    int cnt=1,sum=0;//sum记录答案，cnt记录加入树的点数
    vis[1]=1;
    while(cnt<n)
    {
        int minn=inf;
        int idx=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&dis[i]<minn)
            {
                minn=dis[i];
                idx=i;
            }
        }
        if(idx==-1)
            return inf;//cnt<n，未完成构建，但是没有新点加入，则无解
        vis[idx]=1;//已加入
        sum+=dis[idx];
        cnt++;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(!vis[i]&&dis[i]>e[idx][i])
                dis[i]=e[idx][i];//更新 i 号点到树的距离
        }
    }
    return sum;
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            if(i==j)
                e[i][j]=0;
            else
                e[i][j]=inf;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        e[a][b]=min(e[a][b],c);
        e[b][a]=min(e[b][a],c);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        dis[i]=e[1][i];　　//以1号点为起点
    int t=prim();
    if(t==inf)
        puts("impossible");
    else
        cout<<t<<endl;
}