[CF2195D] Absolute Cinema 题解

[CF2195D] Absolute Cinema 题解

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写这道题的题解没啥必要，主要是为了锻炼下自己敲 \(\LaTeX\) 公式的能力。

题目大意

有一个你未知的数列 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) ，保证 \(|a_i| \le 1000\) 和 \(n \ge 2\) .

定义函数 \(f(n)\) 如下：

\(f(x)=\sum_{i=1}^n a_i \cdot |i-x|\)

给你 \(f(1),f(2),\ldots,f(n)\) 的值，让你反推整个数列 \(a\) 。

分析

那还说啥了都考我数学了直接推式子就完了呗。

这难度放高中都做不了难题的。

感觉这种形式的式子看着就很适合差分地做啊。

\(f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^n a_i \cdot( |i-x| - |i-x+1|)\)

发现\(|i-x| - |i-x+1|=\begin{cases} 1，i\le x\\-1，i\ge x\end{cases}\)

综合一下，\(f(x)-f(x-1)=\sum_{i=1}^{x-1} a_i - \sum_{i=x}^{n} a_i\)

然后再二阶差分一下，发现 \((f(x+1)-f(x))-(f(x)-f(x-1))=2a_x\)

然后就做出来了。

需要注意的是上面的式子由于边界问题，对于 \(x=1\) 或 \(x=n\) 不成立，暴力计算一下就好。

参考代码

数学题，所以代码并不复杂。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=300010;
int n;
ll a[N],f[N];
void work(){
	ll sum1=0,sum2=0;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld",&f[i]);
	}
	for(int i=2;i<n;i++){
		a[i]=f[i+1]+f[i-1]-(f[i]<<1);
		a[i]>>=1;
		sum1+=a[i]*(i-1);
		sum2+=a[i]*(n-i);
	}
	a[1]=(f[n]-sum2)/(n-1);
	a[n]=(f[1]-sum1)/(n-1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",a[i]);
	}
	printf("\n");
}
int main(){
	int t=1;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)work();
}