20201011day32 复习5：Manacher、KMP
KMP算法
回文串问题
查找一个字符串中的最长回文子串
暴力算法
对于每个字符串，枚举每个位置并向两边扩展，看是否回文。
缺点：1.无法处理偶数长度串 2.平均时间复杂度\(O(n^2)\)
manacher算法
- manacher对字符串的预处理
对于偶数长度字符串的预处理，使得它变成奇数长度字符串，即在字符串的首位加上一个特定字符，如aa变成#a#a#，这使得原本长度为\(n\)的字符串变为\(2n+1\)，保证是奇数。
这里解释一下为什么预处理后不会影响对字符串的扩展匹配。比如我们的原字符串是a，假设预处理后的字符串是#a#a#，我们在任意一个点，比如字符#，向两端匹配只会出现a匹配a，#匹配#的情况，不会出现原字符串字符与特殊字符匹配的情况，这样就能保证我们不会改变原字符串的匹配规则。通过这个例子，你也可以发现实际得到的结果与上述符合。
补充：首尾可以放置不同的字符，如^或&，这样可以自动判断跳出循环，而不用担心越界
2. 说明
（1）对于一个回文串，有且仅有一个对称中心，叫做回文对称中心。
（2）在一个回文串内，任选一段区间\(X\)，一定存在关于“回文对称中心”对称的一个区间，把这个区间叫做关于区间\(X\)的对称区间。区间和对称区间是全等的。
（3）如果一个区间的对称区间是回文串，那么这个区间也一定是一个回文串。在大的回文串内，它们的回文串半径相等。
（4）我们通过确定关系预先得到的回文半径，它的数值必定小于等于这个位置真实的回文串半径。
因此，我们如果可以记录以每个位置为中心的回文串半径，当我们通过另一个回文中心将这个原先的中心点对称过去的时候，就可以确定对称过去的那个点的回文半径了。
考虑另一个回文中心如何确定，就是那个极大回文串的回文中心，也就是边界顶着右边我们已知的最远位置的，最长的回文串。
然而考虑到，我们只能确认我们已知的回文串内的对称关系和回文半径等量关系，关于这个极大回文串右侧，我们啥也不知道。
记录这些数据到p数组，同时记录一个mid，一个r，分别代表已经确定的右侧最靠右的回文串的对称中心和右边界。
那么我们扫描到一个新的字符时候，怎么先确定它的部分回文半径呢？若当前扫描到的位置为i，\(mid\le i\le r\)，我们就可以找到他的一个对称点，位置是\(2\times mid-i\)
所以，拓展一个新点时，我们不必从这个点左右两边第一个位置开始向两边拓展，可以预先确定一部分回文串。所以可以看出字符串的线性复杂度。
- 若扩展一个新的关于该字符的回文半径，可以先确定一部分p[i]。
- 我们知道我们能确定的范围，其右侧不得大于r，即\(p_i+i-1\le r\)，移项得\(p_i\le r-i+1\)
取一个min，所以p[i]=min(p[mid*2-i],r-i+1);，最终答案是max(p[i])-1
code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=11000002;
char data[maxn<<1];
int p[maxn<<1],cnt,ans;
inline void qr(){
char c=getchar();
data[0]='~',data[cnt=1]='|';
while(c<'a'||c>'z') c=getchar();
while(c>='a'&&c<='z') data[++cnt]=c,data[++cnt]='|',c=getchar();
}
int main(){
qr();//优化后的读入
for(int t=1,r=0,mid=0;t<=cnt;++t){
if(t<=r) p[t]=min(p[(mid<<1)-t],r-t+1);
while(data[t-p[t]]==data[t+p[t]]) ++p[t];
//暴力拓展左右两侧,当t-p[t]==0时，由于data[0]是'~'，自动停止。故不会下标溢出。
//假若我这里成功暴力扩展了，就意味着到时候r会单调递增，所以manacher是线性的。
if(p[t]+t>r) r=p[t]+t-1,mid=t;
//更新mid和r,保持r是最右的才能保证我们提前确定的部分回文半径尽量多。
if(p[t]>ans) ans=p[t];
}
printf("%d\n",ans-1);
return 0;
}
